Bài giảng Toán 2: Chương 3 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 3 trình bày về dãy số và chuỗi. Chương này trình bày các nội dung chính như: Dãy số và sự hội tụ, chuỗi số, các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số, chuỗi lũy thừa. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt các nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán 2: Chương 3 - ThS. Huỳnh Văn Kha Chương 3DÃY SỐ VÀ CHUỖI ThS. Huỳnh Văn Kha TÓM TẮT NỘI DUNG1. Dãy số và sự hội tụ.2. Chuỗi số.3. Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số.4. Chuỗi lũy thừa.24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 2 1. DÃY SỐ VÀ SỰ HỘI TỤ• Dãy số (sequence) là danh sách các con số được sắp theo một thứ tự nào đó ?1 , ?2 , ?3 , … , ?? , …• Ví dụ, dãy 2,4,6,8, … , 2?, … có phần tử thứ nhất là ?1 = 2, phần tử thứ hai là ?2 = 4, … phần tử thứ ? là ?? = 2?, …• Có thể coi dãy số như một hàm số, biến 1 thành ?1 , biến 2 thành ?2 , … biến ? thành ?? , …• Dãy số được mô tả bằng công thức ?? = ? ? .24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 3 Ví dụ dãy số• Dãy số ?? = ? có các phần tử là ?? = 1, 2, 3, 4, … , ?, …24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 4 1• Dãy số ?? = có các phần tử là ? 1 1 1 1 ?? = 1, , , , … , , … 2 3 4 ?24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 5 −1 ?+1• Dãy số ?? = có các phần tử là ? 1 1 1 −1 ?+1 ?? = 1, − , , − , … , ,… 2 3 4 ?24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 6 Dãy số hội tụ• Nếu các phần tử trong dãy số tiến về một giá trị thực nào đó khi ? lớn, thì ta nói dãy số là hội tụ (converge). 1• Các phần tử của dãy ?? = tiến về 0 khi ? lớn. ? ?−1• Các phần tử của dãy ?? = tiến về 1 khi ? lớn. ?• Nếu các phần tử trong dãy số không tiến về giá trị thực nào cả, hoặc chúng tiến ra vô cùng, thì ta nói dãy số là phân kỳ (diverge).• Các phần tử của dãy số ?? = ? có thể lớn tùy ý khi ? đủ lớn, nên dãy số này phân kỳ.24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 7• Các phần tử của dãy số ?? = −1 ?+1 nhận giá trị xen kẽ giữa −1 và 1 nên nó không hội tụ về con số thực nào cả. Dãy này phân kỳ.Định nghĩa 1. Dãy số hội tụDãy số ?? được nói là hội tụ (converge) về ? nếu ∀? > 0, ∃? ∈ ℕ, ∀? > ?, ?? − ? < ?Nếu không số ? nào như vậy, ta nói dãy ?? phân kỳ(diverge).Nếu ?? hội tụ về ? ta viết lim ?? = ? hay ?? → ?. Và ?→∞khi đó ta nói ? là giới hạn (limit) của dãy số ?? .24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 824/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 9 Một số tính chất24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 1024/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 1124/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 12 Một số giới hạn cơ bản24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 13Ví dụ 1. Tính các giới hạn dãy số sau đây. ln ?2 ?1. lim 2. lim ?2 ?→∞ ? ?→∞ ? ? 13. lim 3? 4. lim − ?→∞ ?→∞ 2 ? ?−2 100?5. lim 6. lim ?→∞ ? ?→∞ ?!24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 14 2. CHUỖI SỐ• Chuỗi số (series) là tổng tất cả con số trong một dãy số, tổng đó có dạng ?1 + ?2 + ?3 + ⋯ + ?? + ⋯• Tổng vô hạn các con số là gì? Cách tính nó?• Để tính tổng vô hạn các con số, ta tính tổng riêng phần (partial sum) thứ ? ?? = ?1 + ?2 + ?3 + ⋯ + ?? và sau đó cho ? → ∞.• Ví dụ, tính tổng của chuỗi số 1 1 1 1 1 + + + + ⋯ + ?−1 + ⋯ 2 4 8 224/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 1524/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 16 Sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi sốĐịnh nghĩa 2. Chuỗi số hội tụ, phân kỳ.Cho chuỗi số ?1 + ?2 + ?3 + ⋯ + ?? + ⋯Dãy ?? được định nghĩa bởi ?1 = ?1 ?2 = ?1 + ?2 … ? ?? = ?1 + ?2 + ⋯ + ?? = ?? ?=1 …được gọi là dãy tổng riêng phần (sequence of partialsums) của chuỗi số.24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 17Định nghĩa 2 (tt). Chuỗi số hội tụ, phân kỳ.Nếu dãy tổng riêng phần nói trên hội tụ về ? thì ta nóichuỗi số là hội tụ và có tổng bằng ?, ta viết ...