Bài giảng Toán A1: Chương 2 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 2 trang bị cho người học những kiến thức về đạo hàm và vi phân. Các nội dung chính của chương này gồm: Đạo hàm và các tích chất, vi phân và tính gần đúng, quy tắc L’Hospital, định lý giá trị trung bình và ks hàm số, công thức Taylor - Mac Laurin. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán A1: Chương 2 - ThS. Huỳnh Văn Kha Chương 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Huỳnh Văn Kha Khoa Toán – Thống Kê Toán A1 - MS: 501001Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 1 / 29 Nội dung 1 Đạo hàm và các tích chất Đạo hàm, đạo hàm một phía và tính chất Đạo hàm hàm ẩn, hàm cho bởi pt tham số 2 Vi phân và tính gần đúng Vi phân và tính gần đúng 3 Quy tắc L’Hospital 4 Định lý giá trị trung bình và ks hàm số Định lý giá trị trung bình Đơn điệu, cực trị, điểm uốn 5 Công thức Taylor, Mac LaurinHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 1 / 29 Đạo hàm Định nghĩa Cho f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b), giới hạn f (x0 + ∆x) − f (x0 ) lim (nếu có) được gọi là đạo hàm ∆x→0 ∆x của f tại x0 . Ký hiệu: f 0 (x0 ). f (x0 + ∆x) − f (x0 ) f+0 (x0 ) = lim + được gọi là đạo ∆x→0 ∆x hàm phải của f tại x0 . f (x0 + ∆x) − f (x0 ) f−0 (x0 ) = lim − được gọi là đạo ∆x→0 ∆x hàm trái của f tại x0 .Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 2 / 29 Nếu f có đạo hàm tại mọi x0 ∈ (a, b) thì f 0 là một hàm số f 0 : (a, b) → R x 7→ f 0 (x) Nếu hàm số này có đạo hàm tại x0 ∈ (a, b) thì ta nói f có đạo hàm cấp hai tại x0 . Ký hiệu: f 00 (x0 ) = (f 0 )0 (x0 ) Nếu f có đạo hàm cấp n là f (n) thì đạo hàm cấp n + 1 được định nghĩa là: f (n+1) (x) = (f (n) )0 (x) Các đạo hàm của y = f (x) còn được ký hiệu: df dy 00 d2 f d2 y f 0 (x) = (x) = , f (x) = 2 (x) = 2 , · · · dx dx dx dx Nếu f có đạo hàm tại x thì f liên tục tại xHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 3 / 29 Các tính chất của đạo hàm Nếu f , g có đạo hàm tại x ∈ (a, b) thì: 1. (f + g )0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x) 2. (αf )0 (x) = αf 0 (x), với α ∈ R 3. (fg )0 (x) = f 0 (x)g (x) + f (x)g 0 (x) 0 f f 0 (x)g (x) − f (x)g 0 (x) 4. (x) = g g 2 (x) 5. (g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x))f 0 (x) 6. Nếu f đơn ánh và f 0 (x) 6= 0 thì f −1 cũng có đạo hàm tại y = f (x) và: 1 1 (f −1 )0 (y ) = 0 = 0 −1 f (x) f (f (y ))Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 4 / 29 Đạo hàm các hàm sơ cấp f (x) f 0 (x) f (x) f 0 (x) 1 ex ex ln x x 1 ax ax ln a loga x x ln a xα αx α−1 1 sin x cos x tan x 2 = 1 + tan2 x cos x −1 cos x − sin x cot x 2 = −(1 + cot2 x) sin x 1 −1 arcsin x √ arccos x √ 1 − x2 1 − x2 1 arctan x 1 + x2Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 5 / 29 Ví dụ ex 1. f (x) = . Tính f 0 (x). 2 + sin(x) 1 2. f (x) = x arctan . Tính f 0 (x). x 1 3. f (x) = . Tính f 0 (x), f 00 (x), f 000 (x), f (n) (x). 1+x 1 4. f (x) = 2 . Tính f 0 (x) ...