Bài giảng Toán B2: Chương 4 - Trần Thị Thùy Nương

Bài giảng "Toán B2 - Chương 4: Phương trình vi phân cấp 2" cung cấp cho người học các kiến thức: Các phương trình vi phân cấp 2 có thể giảm cấp, phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán B2: Chương 4 - Trần Thị Thùy Nương 1/8/2015 Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng Chương 4 F ( x, y , y′, y′′) = 0, (1) trong đó y = f ( x) xác định trên D ⊂ ℝ. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 Nghiệm của (1) là một hàm y = f ( x ) xác định và khả vi cho đến cấp 2 trên tập D ⊂ ℝ sao cho F ( x, y ( x), y′( x ), y′′( x )) = 0, ∀x ∈ D. Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn điều kiện ban đầu 4.1 Các phương trình vi phân cấp 2 có thể y ( x0 ) = y0 , y′( x0 ) = y0′ , giảm cấp 4.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có với x0 , y0 , y0′ là những số cho trước. hệ số hằng4.1 Các PTVP cấp 2 có thể giảm cấp Ví dụ 4.1 Giải PTVP y′′ = e 2 x với điều kiện1. Phương trình không chứa trực tiếp y , y′ 7 3Dạng cơ bản y (0) = − , y′(0) = . 4 2 y′′ = f ( x ). (2)Phương pháp giải 1Lấy tích phân hai vế phương trình (2), ta được Ví dụ 4.2 Giải PTVP y′′ = . cos 2 x y′ = ∫ f ( x)dx + C1 = ϕ ( x) + C1.⇒ y = ∫ [ϕ ( x) + C1 ]dx + C2 = ψ ( x) + C1 x + C2 . 1 1/8/20152. Phương trình không chứa trực tiếp y Ví dụ 4.3 Giải PTVPDạng cơ bản y′ F ( x, y′, y′′) = 0 (3) y′′ = x − . xPhương pháp giải Ví dụ 4.4 Giải PTVPĐặt ẩn hàm phụ z = y′, thì ta có phương trình (1 + x 2 ) y′′ + ( y′) 2 + 1 = 0. G ( x, z , z ′) = 0, (4)Giải (4), ta tìm được z . Khi đó, y = ∫ zdx + C. Thay vào (5), ta nhận được một PTVP cấp 1 3. Phương trình không chứa biến độc lập x theo ẩn hàm z : Dạng cơ bản dz F ( y, y′, y′′) = 0. (5) F ( y, z, z ) = 0. Phương pháp giải dy Đặt z = y′. Ta coi y là biến độc lập và z là Giải phương trình này, ta được z = z ( y , C1 ). hàm số theo biến y . Ta có Suy ra dy′ dz dz dy dz dz y′′ = = = . = . y ′ = .z dy = z = z ( y, C1 ) ⇒ x = ∫ dy + C2 . dx dx dy dx dy dy dx z ( y , C1 )Ví dụ 4.5 Giải PTVP ( y′) + yy′′ = 0, với điều 2 Bài tập 1 Giải các PTVP saukiện ban đầu: 1 1) xy′′ = y′ y (1) = 2, y′(1) = . 2 2) yy′′ − yy′ ln y = ( y′) 2Ví dụ 4.6 Giải PTVP 3) yy′′ + ( y′) 2 = 1 y′′ = y′e y . 2 4) y′′ + ( y′) 2 = 0. ...