Bài giảng Toán C2: Chương 2 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Bài giảng Toán C2 - Chương 2 đề cập đến các nội dung liên quan hệ phương trình đại số tuyến tính. Các nội dung chính được trình bày trong chương này gồm: Các khái niệm chung, phương pháp Gauss, hệ thuần nhất, hệ Cramer. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán C2: Chương 2 - ThS. Huỳnh Văn Kha Chương 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Huỳnh Văn Kha Đại Học Tôn Đức Thắng Toán C2 - MS: C01010Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán C2 - MS: C01010 1 / 10 Nội dung 1 Các khái niệm chung 2 Phương pháp Gauss 3 Hệ thuần nhất 4 Hệ CramerHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán C2 - MS: C01010 1 / 10 Hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Hệ phương trình đại số tuyến tính là hệ có dạng:  a x + a12 x2 + ... + a1n xn = b1  11 1   a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2   ... ... ... ... ... ... ... ... ... am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm  Trong đó: xi là các ẩn số, aij là các hệ số, bj là các hệ số tự doHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán C2 - MS: C01010 2 / 10 Đặt:      a11 a12 · · · a1n x1 b1 , X = x.2 , B = b2   a21 a22 · · · a2n     A = ··· ··· ··· ···   ..  ..   .  am1 am2 · · · amn xn bm Thì hệ được viết lại: AX = B. Ta gọi: A là ma trận hệ số X là ma trận ẩn B là ma trận hệ số tự do A = (A|B) là ma trận hệ số mở rộng Một nghiệm là 1 vector (c1 , · · · , cn ) ∈ Rn mà khi thay x1 = c1 , . . . , xn = cn thì tất cả phương trình đều thỏa.Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán C2 - MS: C01010 3 / 10 Phương pháp Gauss Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa A = (A|B) về dạng bậc thang. Suy ra nghiệm. Ví dụ: Giải các hệ sau    −2x1 − x2 + 2x3 + x4 = 4 x1 + x2 + x4 = 2    1) −x1 + x2 + 4x3 = −1 −x1 − 2x3 = −2      − x2 − 2x3 + x4 = 4    x1 + 2x2 − x3 = −2 −2x1 − 2x2 + 2x3 + x4 = 2  2)   −x1 + x3 + x4 = 0 2x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = −1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán C2 - MS: C01010 4 / 10   x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 2 3) 4x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1 2x1 + 7x2 − x3 = −1  Định lý Kronecker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn, với ma trận hệ số mở rộng A = (A|B). Ta có: Nếu r(A) < r A thì hệ vô nghiệm Nếu r(A) = r A = n thì hệ có nghiệm duy nhất Nếu r(A) = r A < n thì hệ vô số nghiệmHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán C2 - MS: C01010 5 / 10    3x1 + 4x2 − 6x3 − 7x4 = −18  2x1 + 6x2 − 14x3 − 5x4 = −13   4) −x1 − 2x2 + 4x3 + 4x4 = 11 2x1 + 4x2 − 8x3 − 5x4 = −13      −x − 2x3 + 3x4 = 8 1 Nếu A ∈ Mn thì: hệ có nghiệm duy nhất ⇔ r (A) = n ⇔ det(A) 6= 0.Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán C2 - MS: C01010 6 / 10 Hệ thuần nhất Hệ phương trình tuyến tính gọi là thuần nhất khi tất cả các hệ số tự do bằng 0 Hệ thuần nhất luôn có nghiệm X = 0. Nghiệm này gọi là nghiệm tầm thường. Nghiệm khác 0 gọi là nghiệm không tầm thường. Hệ thuần nhất AX = 0 chỉ có 2 khả năng sau: 1. Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ hệ chỉ có nghiệm tầm thường ⇔ r (A) = số ẩn 2. Hệ có vô số nghiệm ⇔ hệ có nghiệm không tầm thường ⇔ r (A) < số ẩnHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán C2 - MS: C01010 7 / 10 Suy ra: nếu số phương trình nhỏ hơn số ẩn thì hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường. Nếu A ∈ Mn thì hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi: r (A) < n ⇔ det(A) = 0. ...