Bài giảng Toán C2: Chương 3 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 3 trình bày những kiến thức về không gian vector Rn. Chương này giúp người học nắm bắt được một số khái niệm cơ bản như không gian vector, không gian vector con, không gian sinh bởi tập hợp, độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính; nắm bắt được các phép toán cơ sở, số chiều, hạng của hệ vector; biết được các phép toán về tọa độ vector, ma trận chuyển cơ sở. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán C2: Chương 3 - ThS. Huỳnh Văn Kha Chương 3 KHÔNG GIAN VECTOR Rn Huỳnh Văn Kha Đại Học Tôn Đức Thắng Toán C2 - MS: C01010Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 1 / 18 Nội dung 1 Một số khái niệm cơ bản Khái niệm không gian vector, kg vector con Không gian sinh bởi tập hợp Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 2 Cơ sở, số chiều, hạng của hệ vector 3 Tọa độ Tọa độ vector, ma trận chuyển cơ sởHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 1 / 18 Không gian vector, kg vector con Cho tập V 6= ∅, trên V có 2 phép toán: cộng (+) và nhân với số thực. Nếu hai phép toán đó thỏa các tính chất sau thì ta nói V là một không gian vector: ∀u, v , w ∈ V ; ∀h, k ∈ R 1. Giao hoán: u + v = v + u 2. Kết hợp: (u + v ) + w = u + (v + w ) 3. Tồn tại phần tử 0 sao cho: u + 0 = u, ∀u ∈ V 4. ∀u ∈ V , ∃(−u) ∈ V : u + (−u) = 0 5. h(ku) = (hk)u 6. (h + k)u = hu + ku 7. h(u + v ) = hu + hv 8. 1.u = uHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 2 / 18 Ví dụ: Tập các ma trận Mm×n cùng với phép cộng ma trận và phép nhân số với ma trận là một kg vector Tập Rn với phép cộng và nhân: I (x1 , ..., xn ) + (y1 , ..., yn ) = (x1 + y1 , ..., xn + yn ) I k (x1 , ..., xn ) = (kx1 , ..., kxn ) lập thành không gian vector Cho V là kg vector, W ⊂ V , W 6= ∅ Nếu ∀u, v ∈ W , ∀k ∈ R, ta có: u + v ∈ W và ku ∈ W . Thì ta nói W là không gian vector con của V Ký hiệu: W ≤ VHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 3 / 18 Ví dụ: Xét xem W có là không gian vector con của V không? 1. V = R2 , W = {(x, 0) : x ∈ R} 2. V = R2 , W = {(x, 1) : x ∈ R} 3. V = R3 , W = {(a − 2b, a + b, b) : a, b ∈ R} 4. V = Rn , W là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn số: AX = 0 (với A ∈ Mm×n )Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 4 / 18 Không gian sinh bởi tập hợp Cho V là kgvt và S = {u1 , u2 , . . . , un } ⊂ V Với mỗi bộ k1 , k2 , . . . , kn ∈ R, ta gọi vector v = k1 u1 + k2 u2 + · · · + kn un là một tổ hợp tuyến tính của các vector u1 , u2 , . . . , un Gọi W là tập các tổ hợp tuyến tính của u1 , u2 , . . . , un thì W là không gian vector con của V . Ta nói W sinh bởi S hay S sinh ra W Ký hiệu: W = hSi = hu1 , u2 , ..., un iHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 5 / 18 Ví dụ: Xét W = hu1 , u2 , u3 i ≤ R4 , với u1 = (2, 0, −1, 3), u2 = (0, 1, 2, −1), u3 = (2, 2, 3, 1) 1. Các vector v1 = (−2, 3, 7, −6), v2 = (2, 1, 1, 1) có thuộc W không? 2. Tìm điều kiện để v = (a, b, c, d ) ∈ WHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 6 / 18 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính Cho V là kgvt, S = {u1 , u2 , . . . , un } S được gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi k1 , k2 , . . . , kn ∈ R, ta có: k1 u1 + k2 u2 + · · · + kn un = 0 kéo theo k1 = k2 = · · · kn = 0 Nếu S không độc lập tuyến tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến tính Ví dụ: S = {u1 , u2 , u3 } có độc lập tuyến tính không? 1. u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 1, 1) 2. u1 = (−1, 0, 2), u2 = (1, −3, 1), u3 = (−5, 6, 4)Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 7 / 18 Cơ sở và số chiều Không gian vector V gọi là n chiều nếu V có n vector độc lập tuyến tính, và mọi họ lớn hơn n vector trong V đều phụ thuộc tuyến tính. n gọi là số chiều của V , ký hiệu: dim V = n Một họ n vector độc lập tuyến tính trong không gian n chiều là một cơ sở của không gian đóHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 8 / 18 Ví dụ: 1. Không gian Rn = {(x1 , . . . , xn ) : x1 , . . . , xn ∈ R} có  là n; có một cơ sở là B0 = {e1 , e2 , . . . , en }, số chiều e = (1, 0, ..., 0)  1   e2 = (0, 1, ..., 0) với:   ... en = (0, 0, ..., 1)  Ta gọi nó là cơ sở chính tắc của Rn 2. B = {(0, 1, 1), (−1, 2, 1), (1, 1, 1)} có là cơ sở của R3 không?Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 9 / 18 Chú ý Tập S ⊂ V là cơ sở của V kh ...