Bài giảng Toán cao cấp 2: Bài 1.3

Bài giảng Bài 1.3 Chuỗi có số hạng với dấu bất kì trình bày về hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ; chuỗi đan dấu và vài tính chất của chuỗi số hội tụ tuyệt đối. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn đọc nghiên cứu và học tập lĩnh vực Toán học.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp 2: Bài 1.3 Bài 1.3Chuỗi có số hạng với dấu bất kì NỘI DUNG 1.3.1 1.3.2 1.3.3 Hội tụ Vài tínhtuyệt đối. Chuỗi chất của Bán hội đan dấu chuỗi số tụ hội tụ tuyệt đối 1.3.1 Hội tụ tuyệt đối. Bán hội tụ Định lí 1.4:   Cho chuỗi số (bất kỳ)  u n . Nếu  u n hội tụ n 1 n 1 thì chuỗi u n 1 n hội tụVí dụ Xét sự hội tụ của chuỗi số sau  sin n  n2 n 1 1.3.1 Hội tụ tuyệt đối. Bán hội tụ Định nghĩa  a) Chuỗi  un hội tụ tuyệt đối nếu  u n hội tụ n 1 n 1  b) Chuỗi  u n bán hội tụ nếu  u n hội tụ mà n 1 n 1un 1 n phân kì Chú thích  a) Điều kiện  un hội tụ là điều kiện đủ để  un hội tụ chứ n 1 n 1không là điều kiện cần.b) Nếu dùng quy tắc D’Alembert hay quy tắc Cauchy mà xác định được chuỗi  un phân kì thì có thể khẳng định n 1 được rằng chuỗi  un phân kì n 1 1.3.2 CHUỖI ĐAN DẤUĐịnh nghĩa: Chuỗi số có dạng:  n1 n1 (1) n1 un  u1 u2  u3 u4 ... (1) un ... hoặc có dạng (1) nun  u1  u2  u3  u4  ...  (1) n u n ... n1với un  0, n  1,  được gọi là chuỗi đan dấu.Ví dụ:   1   n (1)n  (1) n1 sin n1 n2 n là các chuỗi đan dấuĐịnh lí 1.5 (định lí Leibniz) Nếu limun  0 và 0 < un+1  un thì chuỗi n  đan dấu  (  1) n 1 un hoặc  (1) nun hội tụ và có tổng n 1 n1s ≤ u1 Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu   n 1 n n a)  (1) b)  (1) n1 n n 1 3n  1 Ví dụ Xét sự hội tụ tuyệt đối hay bán hội tụcủa chuỗi số  n 1 a )  (1) n 1 n n  n n  b)  (1)   n 1  2n  1   n (3) c)  2 n 1 n 1.3.3 Vài tính chất của chuỗi số hội tụ tuyệt đối Tính chất 1: Nếu chuỗi số  un hội tụ tuyệt đối và có tổng S n 1thì chuỗi số suy từ nó bằng cách thay đổi thứ tự các số hạngvà bằng cách nhóm tùy ý một số số hạng lại cũng hội tụtuyệt đối và có tổng S  Định nghĩa: Nếu hai chuỗi số  un ,  vn hội tụ, người ta n 1 n 1  ngọi tích của chúng là  wn , trong đó wn   uk vn  k n 1 n 1  Tính chất 2: Nếu hai chuỗi số  un ,  vn hội tụ tuyệt đối và n 1 n 1có tổng S và S’ thì tích của chúng cũng hội tụ tuyệt đối vàcó tổng SS’Chương 1 Bài tậpCHUỖI SỐXét sự hội tụ, phân kì của các chuỗi số  n  n 1 2 1 3 n2  3 n 1    n2  2  n 1     1 1 ln(1  n)  sin n n 1n 1   1 ( n 4  3  n 4  1)  n2 n 3 nn 1Xét sự hội tụ, phân kì của các chuỗi số  7 3n  (n!) 2  (2n  5)! n 3  (2n )! n 1   2    n sin ...