Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 8 - TS. Trịnh Thị Hường

Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 8 cung cấp cho người học những kiến thức như: tích phân bất định; một số tích phân thường gặp; tích phân xác định; tích phân suy rộng;...Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 8 - TS. Trịnh Thị HườngHỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2 CHƯƠNG 8 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Giảng viên: T.S Trịnh Thị Hường Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vnCÁC NỘI DUNG CHÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH MỘT SỐ TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TÍCH PHÂN SUY RỘNG BÀI 1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH1. Khái niệmĐịnh nghĩa 1: Cho hàm số ? = ? ? , xác địnhtrên [a; b]. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàmcủa f(x) trên [a;b] nếu ? ′ ? = ? ? , ∀? ∈ ?, ? Định lý 1: Hàm F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên đoạn [a,b]. Khi đó i) Hàm F(x)+C, C là hằng số bất kỳ, cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên [a,b].ii) Mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên [a,b] đều có dạng F(x)+C, C là hằng số nào đó.Định nghĩa 2: Nếu F(x) là một nguyên hàmcủa f(x) trên [a,b] thì biểu thức F(x)+C, C làhằng số bất kỳ, được gọi là tích phân bấtđịnh của hàm số f(x).Kí hiệu ∫ ? ? ?? = ? ? + ? .2. CÁC TÍNH CHẤT a) Nếu A là hằng số thì ∫ ?? ? ?? = ?∫ ? ? ??b) Nếu f(x), g(x) đều có nguyên hàm thì ∫ ? ? ± ? ? ?? = ∫ ? ? ?? ± ∫ ? ? ??c) Nếu ∫ ? ? ?? = ? ? + ? và ? = ?(?) thì ∫ ? ? ?? = ?(?) + ?3. CÁC CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CƠ BẢN(TRANG 158 – 159 SGT) ? ? +1 1. ∫ ? ? ?? = + ?, ? ≠ −1 ?+1 ?? 2. ∫ = ln |?| + ? ? ?? 3. ∫ ? ? ?? = + ?, ? > 0, ? ≠ 1 ln ? 4. ∫ ? ? ?? = ? ? + ? ?? 1 ?+? 5. ∫ 2 2 = ln + ?, (? ≠ 0) ? −? 2? ?−? ?? 1 ?+? ∫ ? 2 −? 2 = 2? ln ?−? + ?, (? ≠ 0)6. ∫ sin ? ?? = − cos ? + ?7. ∫ cos ? ?? = sin ? + ? ??8. ∫ = tan ? + ? cos 2 ? ??9. ∫ = − cot ? + ? sin 2 ? ?? 1 ?10. ∫ 2 2 = arctan + ? ? +? ? ? ??11. ∫ 1+? 2 = arctan ? + ? dx x12. ∫ = arcsin +C ? 2 −? 2 ? x = − arccos + C1 (a > 0) a dx13. ∫ = arcsin x + C = − arccos ? + ?1 1−? 2 dx14. ∫ = ln x + ? 2 + ? + C, b∈R ? 2 +?4. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂNBẤT ĐỊNH4.1. Phương pháp khai triển4.2. Phương pháp đổi biến số4.3. Phương pháp tích phân từng phần4.1. PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂNVí dụ 1. Tích các tích phân sau: ?? ?= ? 2 (? 2 + 1)4.2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐXét tích phân ∫ ?(?)??a) Đặt ? = ? ? với ? ? là một hàm khả vi. Biến đổi ?(?)?? về dạng: ? ? ?? = ?(?)?? Nếu ∫ ?(?)?? = ? ? + ? thì ?(?)?? = ? ? ? +? Ví dụ 2: Tính tích phân sau ?? ?= ? ?2 − 1b) Đặt ? = ? ? với ? ? là một hàm khả vi, đơn điệu thì: dx=?′ ? ??. Khi đó ? ? ?? = ? ? ? ′ (?)?? Tính tích phân theo biến t rồi trả về theo biến x. Ví dụ 3: Tính tích phân sau ?= ? 2 1 − ? 2 ??4.3. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Nếu u(x), v(x) là các hàm khả vi, ta có ??? = ?? − ???CHÚ Ý: MỘT SỐ TÍCH PHÂN SỬ DỤNG TÍCH PHÂNTỪNG PHẦN (TRANG 172 SGT)• Tích phân ∫ ?? ? ? ?? ??; ∫ ?? ? ??????? ?? (?)? ? cos ???? (?? (?) là đa thức bậc n của x). ? = ?? (?) Đặt ?? = phần còn lại • Tích phân ∫ ?? (?) ln ? ??. ? = ln ? Đặt ?? = ?? (?)dx• Tích phân ∫ ?? ? arcsin ? ??; ?? ? arccos ? ??; ?? (?) arctan ? ?? ? = ?ℎầ? ?ò? ?ạ? Đặt ?? = Pn (x)dxVí dụ 4: Tính các tích phân sau: ?2 + 4 ?1 = ? arctan ? ?? ?2 = 2 ?? ?BÀI 2. MỘT SỐ TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP1. Tích phân hàm phân thức hữu tỷ Một số công thức thường dùng: ?? = ln ? + ? ? ?? ? −?+1 ? = + ? (? ≠ 1) ? −? + 1 ?? 1 = ln(?? + ?) + ? ?? + ? a ?? 1 (?? + ?)−?+1 = . +? ?? + ? ? ? −? + 1 ?? 1 ? 2 2 = arctan + ? ? +? a ? ??1.1. Tích phân có dạng ∫ ?? +??+? (??+?)??1. ...