Bài giảng Toán cao cấp 2 - Nguyễn Quốc Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Hàm nhiều biến; tích phân hàm nhiều biến; phương trình vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp 2 - Nguyễn Quốc Tiến NGUYỄN QUỐC TIẾN BÀI GIẢNGTOÁN CAO CẤP 2 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 11 – 2012 1 1 CHƯƠNG1 HÀM NHIỀU BIẾN 1.1 Hàm nhiều biến 1.1.1 Các định nghĩaĐịnh nghĩa Error! No text of specified style in document..1 Một qui luật f đặt tương ứng mỗicặp số thực (x , y ) ∈ D × D, D ⊂ R với một và chỉ một phần tử z ∈ R thì ta nói f là hàm hai biếnsố trên D × D . Ký hiệu f : D × D → R hay z = f (x , y ) .Đối với hàm ba biến thì ta có định nghĩa tương tự, khi đó ta có: u = f (x , y, z ) . Chẳng hạnu = 1 − x 2 − y 2 − z 2 , u = x + y 2 − z, ...Định nghĩa Error! No text of specified style in document..2 Tập hợp các cặp (x , y ) mà ứng vớichúng có thể xác định được giá trị của z được gọi là miền xác định của hàm hai biến z = f (x , y ) ,ký hiệu là D( f ) .Ví dụ Error! No text of specified style in document..1 11) Miền xác định của hàm z = là x 2 + y 2 < 4 . Vậy D( f ) gồm các điểm nằm 2 2 1−x −ytrong vòng tròn tâm là gốc toạ độ và bán kính bằng 2.2) Miền xác định của hàm z = sin(x + y ) là R 2 . 1.1.2 Giới hạn của hàm hai biếnĐịnh nghĩa Error! No text of specified style in document..3 Số L được gọi là giới hạn của hàmz = f (x , y ) khi điểm M (x , y ) tiến đến điểm M 0 (x 0, y 0 ) nếu với mọi ε > 0 bé tuỳ ý cho trước cóthể tìm được δ > 0 sao cho khi 0 < M 0M < δ thì f (x , y ) − A < ε . Ký hiệu lim f (x , y ) = A M →M 0Hay lim f (x , y ) = A . x →x 0 y →y 0 2Giới hạn của hàm hai biến còn có thể định nghĩa thông qua giới hạn của dãy như sau:Định nghĩa Error! No text of specified style in document..4 Cho hàm số f (M ) = f (x , y ) xácđịnh trong miền D chứa điểm M 0 (x 0, y 0 ) có thể trừ điểm M 0 . Ta nói rằng L là giới hạn củaf (x , y ) khi điểm M (x , y ) dần tới điểm M 0 (x 0, y 0 ) nếu với mọi dãy M n (x n , yn ) thuộc D dần tớiM 0 ta đều có lim f (x n , yn ) = L . Ký hiệu lim f (x , y ) = L hay lim f (M ) = L . n →+∞ (x ,y )→(x 0 ,y 0 ) M →M 0Ví dụ Error! No text of specified style in document..2 Tính lim f (x , y ) với (x ,y )→(0,0) xyf (x , y ) = x 2 + y2Giải. xTa có f (x , y ) = . y ≤ y , ∀(x , y ) ≠ (0, 0) , do đó ∀ {(x n , yn )} → (0, 0) ta đều có 2 2 x +y lim f (x n , yn ) = 0.(x n ,yn )→(0,0) xyVí dụ Error! No text of specified style in document..3 Chứng minh lim không tồn tại x →0 y →0 x + y2 2Giải.Cho y = x ta có x2 1L = lim 2 2 = , x →0 y →0 x +x 2nhưng cho y = 2x thì 2x 2 2L = lim 2 2 = . x →0 y →0 x + 4x 5Vậy khi (x , y ) tiến về (0, 0) theo các hướng khác nhau thì f (x , y ) có những giới hạn khác nhau. xyDo đó lim không tồn tại. x →0 y →0 x 2 + y2 1.1.3 Tính liên tục của hàm hai biến.Định nghĩa Error! No text of specified style in document..5 Giả sử M 0 (x 0, y 0 ) ∈ D( f ) . Hàmz = f (x , y ) được gọi là hàm liên tục tại điểm M0 nếu 3 lim f (x , y ) = f (x 0, y 0 ) . x →x 0 y →y 0Hàm số liên tục tại mọi điểm của một miền nà ...