Bài giảng Toán cao cấp 3: Chương 3

Bài giảng Toán cao cấp 3 - Chương 3 Tích phân đường, cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa tích phân đường loại; Tính chất; Công thức tính tích phân đường loại; Định nghĩa tích phân đường loại; Công thức tính tích phân đường loại; Tích phân không phụ thuộc đường đi. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp 3: Chương 3 TOÁN CAO CẤP 3 Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG BỘ MÔN TOÁN-CƠ-TIN HỌC KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Ngày 16 tháng 10 năm 2020BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 1 / 33 Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1 Định nghĩa tích phân đường loại 1 Tính chất Công thức tính tích phân đường loại 1 2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 Định nghĩa tích phân đường loại 2 Tính chất Công thức tính tích phân đường loại 2 Tích phân không phụ thuộc đường điBM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 2 / 33 1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 3 / 33 1.1. Định nghĩa tích phân đường loại 1BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 4 / 33 Cho hàm hai biến f xác định trên cung AB trong mặt phẳng ˆ Oxy . Chia cung AB thành n cung cong con bởi các điểm chia ˆ A ≡ A0 , A1 , . . . , Ak−1 , Ak , . . . , An ≡ B. Gọi ∆sk là độ dài cung cong con Ak−1 Ak . ˚ Trên Ak−1 Ak lấy điểm Mk (xk ; yk ) tuỳ ý. ˚ n Lập tổng tích phân Sn = f (xk ; yk )∆sk . k=1 Cho n → +∞ sao cho max ∆sk → 0. Nếu Sn có giới hạn tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc cách chia AB và cách ˆ lấy các điểm Mk thì giới hạn đó được gọi là tích phân đường loại 1 của f (x; y) dọc theo AB . ˆBM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 5 / 33 Tích phân đường loại một của hàm hai biến f (x; y) dọc theo cung cong phẳng AB được cho trong Oxy : ˆ f (x; y)ds, AB ˜ trong đó ds là yếu tố độ dài. Tích phân đường loại một của hàm ba biến f (x; y; z) dọc theo cung cong AB được cho trong không gian Oxyz : ˆ f (x; y; z)ds. AB ˜ Điều kiện khả tích. Nếu hàm f liên tục trên cung cong AB ˆ trơn từng khúc thì f khả tích trên AB . ˆBM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 6 / 33 1.2. Tính chất i f (x; y)ds = f (x; y)ds. AB ˜ BA ˜ ii Độ dài cung AB : (AB) = ˆ ˆ 1.ds. AB ˜ iii [f (x; y) + α.g(x; y)]ds = f (x; y)ds + α. g(x; y)ds, AB ˜ AB ˜ AB ˜ (α = const). iv Cho C ∈ AB : ˆ f (x; y)ds = f (x; y)ds + f (x; y)ds. AB ˜ AC ˜ CB ˜BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 7 / 33 1.3. Công thức tính tích phân đường loại 1 Công thức chung Cho hàm hai biến f liên tục trên cung cong trơn từng khúc AB trong mặt phẳng Oxy được cho bởi phương trình tham số ˆ x = x(t), (t ∈ [a; b]). y = y(t), Khi đó b f (x; y)ds = f (x(t); y(t)). (x (t))2 + (y (t))2 dt. AB ˜ aBM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 8 / 33 Các trường hợp riêng i Cung AB được cho bởi y = y(x), (a ≤ x ≤ b): ˜ b f (x; y)ds = f (x; y(x)). 1 + (y (x))2 dx. AB ˜ aBM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 9 / 33 Các trường hợp riêng i Cung AB được cho bởi y = y(x), (a ≤ x ≤ b): ˜ b f (x; y)ds = f (x; y(x)). 1 + (y (x))2 dx. AB ˜ a ii Cung AB được cho bởi x = x(y), (c ≤ y ≤ d): ˜ d f (x; y)ds = f (x(y); y). (x (y))2 + 1dy. AB ˜ cBM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 9 / 33 Các trường hợp riêng i Cung AB được cho bởi y = y(x), (a ≤ x ≤ b): ˜ b f (x; y)ds = f (x; y(x)). 1 + (y (x))2 dx. AB ˜ a ii Cung AB được cho bởi x = x(y), (c ≤ y ≤ d): ˜ d f (x; y)ds = f (x(y); y). (x (y))2 + 1dy. AB ˜ c iii Cung AB có phương trình trong toạ độ cực là ˜ r = r(ϕ), (α ≤ ϕ ≤ β ): β f ...