Bài giảng Toán cao cấp: Bài 1 - Các dạng toán về định mức

Bài giảng Toán cao cấp: Bài 1 - Các dạng toán về định mức trình bày về các dạng toán như tính định thức D = detAn; so sánh hai định thức; giải phương trình detA = f(x); bài toán về quan hệ giữa detA, detkA, detA-1, detAT. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

 

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp: Bài 1 - Các dạng toán về định mức BÀI 1 dạng 1 TÍNH ĐỊNH THỨC D = detAn Th1: Định thức D là định thức đặc biệt 1.a. Có một dòng hoặc một cột bằng 0 b. Có hai dòng hoặc hai cột bằng nhau c. Có hai dòng hoặc hai cột tỉ lệ D = 0 2. Có dạng tam giác hoặc dạng chéo D = tích các phần tử trên  đường chéo chính Ví dụ:  8 2 8 7 6 0 6 9 = 0 2 5 2 7 4 3 4 9 8 2 8 7 7 0 1 6 9 9 0 0 2 7 0 = 48 0 0 0 3 9 0 0 0 0 1  Th2:  D=detAn  không đặc biệt n=1  A = (a) thì detA = a : 1 Ví dụ: Tính detA ,   A = (2  ­1   0) 3  A = ( a )         1x3 ­1 3x1           Ta có a =            = ­1  ­3  ­ 0      2                                                A = ( ­1 )                                           detA = ­1 n=2: a11 a12 = a11 a22 ­ a21 a12 a21 a22  Ví dụ: 1­i 4 = (1­i) (1+i) ­ 3 (4) = ­10 3 1+i n=3: Cách 1 Dùng Quy tắc Sarius a11 a12 a13 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a21 a22 a23 ­ a31 a22 a13 ­ a32 a23 a11 ­ a33 a21 a12 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 Ví dụ: Tính định thức sau đây: 1 x 0 1 x 0 1 x D = x 2 1 x 2 1 x 2 3 2 2 3 2 2 3 2 D = 4 + 3x + 0 ­ 0 ­ 2 ­ 2x2 = ­2x2 +3x+2 Cách 2 Đưa về định thức đặc biệt   TC1: Định thức không thay đổi khi lấy một     dòng  cộng với k lần một dòng khác   TC2: Định thức đổi dấu khi đổi chỗ hai dòng   TC3: Nhân tử chung              của một dòng có              thể đưa ra ngoài             dấu định thức  Ví dụ : Tính định thức sau đây: a+b c 1 a+b+c c 1 D  = b+c a 1 = b+c+a a 1   c+a b 1 c+a+b b 1 1 c 1   = (a+b+c) 1 a 1 1 b 1   = 0 n   4: Cách 1 Khai triể n theo mộ t dòng hoặc một cộ t  (Chọn dòng hoặc cột có nhiều số 0) Ví dụ : Tính định thức sau đây 9 1 2 1 = a 21 (­1) 2+1 D21 0 ­1 0 0 + a22 (­1) 2+2 D22 0 5 4 2 + a23 (­1)2+3 D23 3 1 4 1 + a24 (­1)2+4 D24 9 1 2 1 0 ­1 0 0 0 5 4 2 3 1 4 1 = a22 (­1)2+2 D22 9 2 1 = (­1) 1 0 4 2 = ­36 3 4 1 Cách 2 Dùng hệ quả của khai triển Laplace B (0) (0) B D C C D A = C D D C (0) B B (0) ( B, D là ma trận vuông ) detA = detB.detD Ví dụ: Tính định thức sau đây: 2 1 3 1 4 1 5 2 D = ­2 2 0 0 2 3 0 0 ­2 2 3 1 D = 2 3 5 2  = (­10)(1) = ­10 Cách 3 Đưa về định thức đặc biệt Ví dụ 1: Tính định thức   d2­d1   d3­d1 1 3 1 0 1 3 1 0 1 2 1 ­1 0 ­1 0 ­1 = 1 3 4 1 0 0 3 1 0 0 3 3 0 0 3 3 1 3 1 0 1 3 1 0 0 ­1 0 ­1  d4­d3 0 ­1 0 ­1 = = ­6 0 0 3 1 0 0 3 1 0 0 3 3 0 0 0 2 Ví dụ 2: Tính định thức sau đây: 3 2 2 2 9 9 9 9 1 1 1 1 D =  2 3 2 2 D=  2 3 2 2 =9 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 Lấy d2, d3, d4 trừ 2d1 1 1 1 1 D =  9 0 1 0 0 = 9 0 0 1 0 0 0 0 1 Dùng tính ch ất  0 ­1 ­2 ­3 ­4 Cách 4 detA = detAT 1 0 ­3 ­4 ­5 Ví dụ: Tính định thức D =  2 3 0 ­5 ­6 3 4 5 0 7 0 1 2 3 4 ­1 0 3 4 5 4 5 6 7 0 (  ­1)5D =  ­2 ­3 0 5 5 ­3 ­4 ­5 0 7 ­4 ­5 ­6 ­7 0 (­1)5 D =  D ­ D = D D = 0 BÀI 1 (PHẦN 2) Dạng 2 SO SÁNH HAI ĐỊNH THỨC PP1:  Tính hai định thức PP2:  Dùng các tính chất của định thức  Đổi chỗ thích hợp các dòng hoặc các cột  Rút nhân tử chung  của các dòng  và  các cột ra  ngoài dấu  định thức Ví dụ 1 : So sánh hai định thức sau đây: 0 1 5 3 1 0 5 3 1 2 3 4 2 1 3 4 A = B = 4 2 2 4 2 0 2 0 9 ...