Bài giảng Toán cao cấp - Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

"Bài giảng Toán cao cấp - Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục" giúp người học hiểu được khái niệm hàm số, giới hạn, sự liên tục; giải được các bài tập về hàm số, giới hạn, tính liên tục; áp dụng phần mềm toán để tính toán với hàm số, giới hạn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp - Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Thời lượng Mục tiêu Bạn nên học và làm bài tập của bài này  Hiểu được khái niệm hàm số, giới hạn, sự trong hai tuần, mỗi tuần khoảng 3 đến 4 liên tục giờ đồng hồ.  Giải được các bài tập về hàm số, giới hạn, tính liên tục  Áp dụng phần mềm toán để tính toán với hàm số, giới hạn Nội dung Trên cơ sở các kiến thức của chương trình phổ thông, mục đích của bài này là ôn tập, hệ thống hóa và nâng cao các kiến thức về hàm số một biến số: Giới hạn, tính liên tục của hàm số. Hướng dẫn học  Đây là bài học nhằm ôn tập và hệ thống hóa lại các kiến thức toán học đã học trong chương trình phổ thông nên bạn cần đọc kỹ lại các lý thuyết về hàm số, giới hạn.  Sau khi đọc kỹ lý thuyết bạn cần làm bài tập càng nhiều càng tốt để củng cố và nâng cao kiến thức.MAT101_Bài 1_v2.3013101225 1 Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục1.1. Hàm số một biến số1.1.1. Định nghĩa hàm số một biến số Cho X là tập hợp khác rỗng của  . Ta gọi ánh xạ f :X   x  y  f x là hàm số một biến số trên tập hợp X , trong đó x là biến số độc lập, y là đại lượng phụ thuộc hay hàm số của x . Tập hợp X gọi là miền xác định của hàm số f . Tập hợp f (X)  {y  , y  f (x) : x  X} gọi là miền giá trị của f Nếu hàm số một biến số cho trong dạng biểu thức: y  f (x) mà không nói gì thêm thì ta hiểu miền xác định của hàm số là tập hợp những giá trị thực của biến số x làm cho biểu thức có nghĩa. Ví dụ 1: Biểu thức y  1  x 2 xác định khi : 1  x 2  0  x  1  1  x  1. Do đó miền xác định của hàm số y  1  x 2 là  1,1 . Dễ dàng thấy rằng miền giá trị của hàm y là [0,1]. Miền xác định của một hàm số có thể gồm nhiều tập con rời nhau, trên mỗi tập con đó lại có một quy tắc riêng để xác định giá trị của hàm số. Hàm số có thể được xác định bởi nhiều công thức khác nhau tùy thuộc vào giá trị của biến. Ví dụ 2:  x 2  1 khi x  0 f (x)   1  2x khi x  0 Hàm f (x) là một hàm số xác định trên  . Nếu x không âm thì giá trị của hàm số được tính theo công thức: f (x)  x 2  1 . Nếu x âm, giá trị của hàm số được tính bởi: f (x)  1  2x.1.1.2. Đồ thị của hàm số Giả sử hàm số y = f(x) có miền xác định là X   . Ứng với mỗi giá trị x 0  X ta có giá trị y 0  f (x 0 ) của hàm số. Trong hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc, xét điểm M 0  (x 0 , y 0 ) . Khi x 0 thay đổi và “quét” hết tập xác định X thì M 0 cũng thay đổi theo và vạch nên một đường cong trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Đường cong này được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x). Như vậy, đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp những điểm trong mặt phẳng có tọa độ M  x; y  , ở đó y = f(x), x thuộc miền xác định X.2 MAT101_Bài 1_v2.3013101225 Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục CHÚ Ý: Đồ thị của hàm số có thể là tập hợp các điểm rời rạc, cũng có thể gồm một số cung liền Ví dụ 3:  x 2 khi x  0  Đồ thị của hàm số y   x khi 0  x  1 được biểu diễn như sau: 3  khi x  1 2 Hình 1.1 Việc vẽ phác họa đồ thị của hàm số f với miền xác định là một khoảng số thực thường được xác định theo trình tự như sau: y Lấy các số x1 , x 2 ,..., x n từ miề ...