Bài giảng Toán cao cấp: Bài 2 - Nguyễn Hải Sơn

"Bài giảng Toán cao cấp - Bài 2: Đạo hàm - vi phân" với các nội dung về đạo hàm, đạo hàm cấp cao, bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản, các phép toán về đạo hàm, đạo hàm hàm hợp; vi phân, vi phân cấp cao, các phép toán về vi phân, vi phân hàm hợp; công thức taylo, quy tắc L’Hospitan; ứng dụng tính giới hạn và khảo sát hàm số.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp: Bài 2 - Nguyễn Hải Sơn BÀI 2 ĐẠO HÀM - VI PHÂN Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn 1 v1.0 LÍ THUYẾT 1. Đạo hàm, đạo hàm cấp cao, bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản, các phép toán về đạo hàm, đạo hàm hàm hợp; 2. Vi phân, vi phân cấp cao, các phép toán về vi phân, vi phân hàm hợp; 3. Công thức Taylo, quy tắc L’Hospitan (Lôpitan); 4. Ứng dụng tính giới hạn và khảo sát hàm số: Sự biến thiên, cực trị,… 2 v1.0 VÍ DỤ 1 Khẳng định nào đúng: a. f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0. b. f(x) liên tục tại x0 thì f(x) có đạo hàm tại x0. c. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không liên tục tại x0. d. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không xác định tại x0. 3 v1.0 VÍ DỤ 1 (tiếp theo) Khẳng định nào đúng: a. f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0. b. f(x) liên tục tại x0 thì f(x) có đạo hàm tại x0. c. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không liên tục tại x0. d. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không xác định tại x0. Hướng dẫn: Xem khái niệm đạo hàm, có nhận xét sau: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0. 4 v1.0 VÍ DỤ 1 (tiếp theo) Khẳng định nào đúng: a. f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0.  b. f(x) liên tục tại x0 thì f(x) có đạo hàm tại x0.  c. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không liên tục tại x0.  d. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không xác định tại x0.  Chú ý: f(x) = |x| xác định tại x = 0, liên tục tại x = 0, có đạo hàm phải và đạo hàm trái tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0. (=> b, c, d sai). 5 v1.0 VÍ DỤ 2 Cho hàm số f(x)=|x|. Khẳng định nào sau đây không đúng? a. f(x) có đạo hàm với mọi x khác 0. b. f(x) có đạo hàm phải tại x = 0. c. f(x) có đạo hàm trái tại x = 0. d. f(x) có đạo hàm tại x = 0. 6 v1.0 VÍ DỤ 2 (tiếp theo) Cho hàm số f(x)=|x|. Khẳng định nào sau đây không đúng? a. f(x) có đạo hàm với mọi x khác 0.  b. f(x) có đạo hàm phải tại x = 0.  c. f(x) có đạo hàm trái tại x = 0.  d. f(x) có đạo hàm tại x = 0.  7 v1.0 VÍ DỤ 3 Đạo hàm của hàm số f(x) = x5 bằng: a. 5x b. 5x4 x6 c. 6 d. 0 8 v1.0 VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Hướng dẫn: • Xem bảng đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản (tr.25); • Đây là hàm có dạng x. 9 v1.0 BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 10 v1.0 VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Đạo hàm của hàm số f(x) = x5 bằng: a. 5x  6 x b.  6 c. 5x4  (x5)’ = 5x5 – 1 = 5x4 d. 0  Nhận xét: Sai lầm chủ yếu do không nắm được công thức đạo hàm của các hàm số. 11 v1.0 VÍ DỤ 4 Đạo hàm của hàm số f(x) = arccosx bằng: 1 a. 1  x2 1 b.  1  x2 c. 1 1  x2 1 d.  1  x2 12 v1.0 VÍ DỤ 4 (tiếp theo) Đạo hàm của hàm số f(x) = arccosx bằng: 1 a. 2  1x 1 b.   f(x) = arccosx 2 1x c. 1  1  x2 1 d.   1  x2 13 v1.0 VÍ DỤ 5 Đạo hàm của hàm số f(x) = tg(lnx) bằng: 1 a. xcos 2 (ln x) 1 b. cos 2 (ln x) 1 c. ln x cos 2 x d. ln x cos 2 x 14 v1.0 VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem các phép toán về đạo hàm, đạo hàm của hàm hợp (mục 1.2.1, tr.24). Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm theo x, hàm số y = f(x) có đạo hàm theo u thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). u(x) 1 (tgu(x))  (ln x)  (x  0) cos 2u(x) x 15 v1.0 VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Đạo hàm của hàm số f(x) = tg(lnx) bằng: 1 1 1 1 a. ...