Bài giảng Toán cao cấp: Bài 4 - Nguyễn Hải Sơn

"Bài giảng Toán cao cấp - Bài 4: Hàm nhiều biến" trình bày khái niệm hàm số nhiều biến số, giới hạn và sự liên tục của hàm số nhiều biến số; đạo hàm riêng, vi phân riêng, vi phân toàn phần; cực trị của hàm số - cực trị có điều kiện.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp: Bài 4 - Nguyễn Hải Sơn BÀI 4 HÀM NHIỀU BIẾN Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn 1v1.0LÝ THUYẾT1. Khái niệm hàm số nhiều biến số, giới hạn và sự liên tục của hàm số nhiều biến số.2. Đạo hàm riêng, vi phân riêng, vi phân toàn phần.3. Cực trị của hàm số - Cực trị có điều kiện. 2v1.0VÍ DỤ 1Trong các phần tử sau, phần tử nào là một điểm của không gian 3 chiều 3 ? a. (1;2) b. (1;2;3) c. (1) d. (1;2;3; 4) 3v1.0VÍ DỤ 1 (tiếp theo)Trong các phần tử sau, phần tử nào là một điểm của không gian 3 chiều 3 ?a. (1;2) b. (1;2;3) c. (1) d. (1;2;3; 4) Hướng dẫn: Xem mục 4.1.1.1Định nghĩa:Mỗi bộ n số thực sắp thứ tự x1, x2, ..., xn được gọi là một điểm n chiều. Ta kýhiệu điểm bởi chữ in hoa M(x1, x2, ..., xn). 4v1.0VÍ DỤ 2Một điểm n chiều là:a. Một bộ n số thực.b. Một bộ n số thực sắp thứ tự.c. Một bộ n số thực có hai thành phần bằng nhau.d. Một bộ n số thực đều bằng nhau. 5v1.0VÍ DỤ 2 (tiếp theo)Một điểm n chiều là:a. Một bộ n số thực. b. Một bộ n số thực sắp thứ tự. c. Một bộ n số thực có hai thành phần bằng nhau. d. Một bộ n số thực đều bằng nhau.  6v1.0VÍ DỤ 3Cho hàm số n biến f(M). Tìm khẳng định luôn luôn đúng trong các khẳngđịnh sau: na. Miền xác định của hàm số là b. Miền xác định của hàm số là tập hợp con của n nc. Miền giá trị của hàm số là d. Miền giá trị của hàm số là tập con của n 7v1.0VÍ DỤ 3 (tiếp theo)Hướng dẫn: 8v1.0VÍ DỤ 3 (tiếp theo)Cho hàm số n biến f(M). Tìm khẳng định luôn luôn đúng trong các khẳngđịnh sau: na. Miền xác định của hàm số là  b. Miền xác định của hàm số là tập hợp con của n  nc. Miền giá trị của hàm số là  d. Miền giá trị của hàm số là tập con của n Nhận xét:Sai lầm thường gặp: Không nắm được khái niệm hàm số nhiều biến, bị lẫn lộngiữa miền xác định và miền giá trị. 9v1.0VÍ DỤ 4 xyTập nào sau đây là miền xác định của hàm số z   x. 1  y xya. x  y  0, y  1b. x  y  0, y  1c. x  y  0, y  1d. x  y  0, y  1 10v1.0VÍ DỤ 4 (tiếp theo) xyTập nào sau đây là miền xác định của hàm số z   x. 1  y xya. x  y  0, y  1 b. x  y  0, y  1  x  y  0 x  y  0c. x  y  0, y  1     1  y  0 y  1d. x  y  0, y  1 Hướng dẫn: Khái niệm miền xác định (tr.73)Miền xác định tự nhiên của một hàm nhiều biến là các bộ n số sao cho khi thayvào biểu thức của hàm số thì các phép toán đều có ý nghĩa. Chú ý: 11v1.0VÍ DỤ 5Tập nào sau đây là miền xác định của hàm số z  ln(x  y)  x arcsin 1  y a. x  y  0 , y  1 b. x  y  0 , y  1 c. x  y  0 ,  1  y  1 d. x  y  0 , 0  y  1 12v1.0VÍ DỤ 5 (tiếp theo)Tập nào sau đây là miền xác định của hàm số z  ln(x  y)  x arcsin 1  y a. x  y  0 , y  1  b. x  y  0 , y  1  c. x  y  0 ,  1  y  1  d. x  y  0 , 0  y  1  13v1.0VÍ DỤ 6   1 2n  3  Giới hạn của dãy điểm Mn  2 ,   khi n   là:  n n a. (0; 0 )b. (0 ;  2 )c. (0 ; 2 )d. (1 ;1 ) 14v1.0VÍ DỤ 6 (tiếp theo)  lim x n  x 0 nHướng dẫn: Mn (x n ; y n )  n  M(x 0 ; y 0 )   ...