Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 2 - Phan Trung Hiếu (2018)

Bài giảng "Toán cao cấp C1 - Chương 2: Hàm liên tục" cung cấp cho người học các kiến thức: Hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn. Cuối bài giảng có phần bài tập để người học ôn tập và củng cố kiến thức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 2 - Phan Trung Hiếu (2018)21/09/2018TOÁN CAO CẤPC1Chương 2:Hàm liên tụcGV. Phan Trung HiếuGV. Phan Trung Hiếu45 tiếtLOGOI. Hàm số liên tục tại một điểm:Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác địnhtrong một khoảng chứa x0. Ta nói:(i) f(x) liên tục bên trái tại x0 nếulim f ( x)  f ( x0 ).x  x0(ii) f(x) liên tục bên phải tại x0 nếulim f ( x )  f ( x0 ).x  x0LOGO(iii) f(x) liên tục tại x0 nếulim f ( x)  f ( x0 ).x  x0Nói cách khác, f(x) liên tục tại x0 nếu thỏa 3 điềusau: f(x) xác định tại x0. lim f ( x ) tồn tại.x  x0 lim f ( x )  f ( x0 ).x  x03Hàm số f(x) không liên tục tại x0 thì được gọi là giánđoạn tại x0 nếu xảy ra một trong các điều sau: f(x) không xác định tại x0. f(x) xác định tại x0, nhưnglim f ( x ) không tồn tạix  x0hoặclim f ( x) không tồn tạix  x0hoặclim f ( x)  lim f ( x ).x  x0x  x0 f(x) xác định tại x0, lim f ( x) tồn tại, nhưngx  x0lim f ( x)  f ( x0 ).4Định lý 1.2. Nếu f và g liên tục tại x0 thìf  g , f .g ,f( g  0) cũng liên tục tại x0.gVí dụ 1.1: Xét tính liên tục của các hàm số sau sin 3xkhi x  0 tại x  0.a ) f ( x)   x03khi x  0 x2  1 khi x  1b) f ( x)   x2khi x  12tại x0  1.x x056121/09/2018Ví dụ 1.2: Cho hàm sốVí dụ 1.4: Tìm m và n để hàm sốx tan xf ( x) , x  k 2 (k  ).1  cos x 3mx khi x  3,f (x )   x  n khi x  3,x2khi x  3.Tìm f(0) để hàm số trên liên tục tại x0  0.Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số3 ex 1khi x  0f ( x )   ln(1  x 2 )liên tục tại x0  0.21mkhix0liên tục tại x0  3.78Ví dụ 1.5: Thầy Hiếu bán một loại sản phẩm trang trívới số lượng lớn. Nếu khách hàng mua với số lượng íthơn hoặc bằng 225kg thì thầy Hiếu bán với giá 57,5nghìn đồng/kg. Nếu khách hàng mua với số lượng trên225kg thì thầy Hiếu sẽ giảm giá và bán với giá 46 nghìnđồng/kg. Tuy nhiên, thầy Hiếu nhận thấy điều chưa hợplý trong cách bán này, chẳng hạn khi khách hàng mua230kg thì số tiền phải trả ít hơn khi mua 225kg. Vì vậy,thầy Hiếu quyết định thêm vào phụ phí k (nghìn đồng)cho việc giảm giá khi khách hàng mua trên 225kg. Tìmk để cách bán hàng trở nên hợp lý hơn.Ví dụ 1.6: Giả sử một người bán hàng được trả lương cơbản là 800$/tháng cộng với tiền hoa hồng và tiền thưởng(nếu có) dựa trên doanh thu của người đó. Giả sử rằngtiền hoa hồng là 15% doanh thu, còn tiền thưởng là1.000$ nếu doanh thu hàng tháng vượt 10.000$ và đượccộng thêm 2.500$ nếu doanh thu hàng tháng vượt15.000$.a) Tìm hàm số thể hiện mối quan hệ giữa doanh thu vớithu nhập của người bán hàng này và vẽ đồ thị.b) Hàm số ở câu a gián đoạn các điểm nào? Tìm các giớihạn trái và giới hạn phải của hàm số tại các điểm đó.c) Từ các kết quả ở câu b, ta thấy phương pháp tínhlương này tạo động lực gì cho người bán hàng để tăngdoanh thu hàng tháng?910II. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn:Định nghĩa 2.1. Hàm số f(x) liên tục trên (a,b)khi và chỉ khi f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc(a,b).Định nghĩa 2.2:Chú ý 2.3: Hàm f(x) liên tục trên [a,b] có đồthị là một đường liền nét (không đứt khúc)trên đoạn đó.f(x) liên tục trên (a,b)f ( x)  f (a)f(x) liên tục trên [a,b]   xlimaf ( x )  f (b) xlimbaabbKhông liên tụcLiên tục1112221/09/2018Định lý 2.4: Hàm đa thức, hàm mũ, hàm phânthức hữu tỷ (thương của hai đa thức) và cáchàm lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx,y=cotx liên tục trên tập xác định của chúng.Định lý 2.5: Hàm số liên tục trên một đoạn thìđạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.13Ví dụ 2.1: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xácđịnh 2 x  3 khi x  0f ( x )  1khi x  0 . x 2  3 khi x  014Ví dụ 2.2: Tìm m để hàm sốmx 2  2 x khi x  2f ( x)   3 x  mx khi x  2liên tục trên .Ví dụ 2.3: Tìm m và n để hàm số1xf ( x)  mx  n1xkhi x  1khi 1  x khi x liên tục trên .1212153Bài tập Toán Cao cấp C1BÀI TẬP CHƯƠNG 2Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x0 cho trước ln(1  4 x 2 ) arcsin( x 2  2 x )khi x  0khi x  01) f ( x)  tại x0  0 .2) f ( x )   1  e 2 x2tại x0  0 .3x2 / 3khi x  0khi x  02ln x  ln 2Bài 2: Cho hàm số f ( x) , x  2. Tìm f(2) để hàm số liên tục tại x  2.x2Bài 3: Xác định m để các hàm số sau liên tục tại điểm x0  0 3 tan 2 x  sin 2 x2) f ( x )  2xm ln(2  cos(mx ))khi x  01) f ( x)  .x 4  2 x2mkhi x  0khi x  0.khi x  0 m sin 2 xkhi x  0, xBài 4: Tìm m và n để hàm số f ( x)  2liên tục tại điểm x0  0.khi x  0, 2n 1  x  1khi x  0xBài 5: Một nhà máy kẹo bán kẹo theo pound. Nếu khách hàng mua kẹo với số lượng ít hơn hoặc bằng20 pounds thì nhà máy bán với giá 1,5$/pound. Nếu khách hàng mua kẹo với số lượng trên 20 poundsthì nhà máy bán với giá 1,25$/poun ...