Bài giảng Toán cao cấp C2: Phần 1 - Trường ĐH Võ Trường Toản

Bài giảng Toán cao cấp C2 là công cụ nhằm cung cấp cho sinh viên những kiến thức toán cần thiết để học được các kiến thức chuyên ngành. Bài giảng gồm 4 chương và được chia thành 2 phần, phần 1 này cung cấp cho sinh viên những nội dung về: Hàm số – Giới hạn – Liên tục; Phép tính vi phân hàm một biến. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp C2: Phần 1 - Trường ĐH Võ Trường Toản BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC VOÕ TRÖÔØNG TOAÛN Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP C2 (Dành cho sinh viên các ngành Kinh tế) Biên soạn: ThS. Phạm Thanh Dược Hậu Giang, 2019 LỜI NÓI ĐẦU Toán cao cấp C2 là môn học công cụ nhằm cung cấp cho sinh viên các ngành Kin Tế những kiến thức toán cần thiết để học được các kiến thức chuyên ngành. Bài giảng gồm 4 chương Chương 1: Hàm số – Giới hạn – Liên tục Chương 2: Phép tính vi phân hàm một biến Chương 3: Phép tính tích phân hàm một biến Chương 4: Phương trình vi phân. Trong các Chương 1, 2, 3 có một số kiến thức sinh viên đã được học ở trung học phổ thông nên có những phần chúng tôi yêu cầu sinh viên tự nghiên cứu. Yêu cầu cơ bản của chúng tôi là sinh viên hiểu rõ các khái niệm và vận dụng được các công thức, kết quả vào bài tập. Vì vậy trong bài giảng này chúng tôi bỏ qua phần trình bày các chứng minh quá phức tạp. Bên cạnh đó, chúng tôi đã đưa vào nhiều ví dụ và bài tập ứng dụng trong kinh tế để sinh viên làm quen với việc sử dụng công cụ toán học trong lĩnh vực kinh tế. Cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Cơ bản đã nhiệt tình quan tâm giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình biên soạn. Dù đã cố gắng nhưng chắc chắn bài giảng không tránh khỏi sai sót. Chúng tôi rất mong nhận được và chân thành biết ơn những ý kiến đóng góp của người đọc cả về nội dung lẫn hình thức. Tác giả i MỤC LỤC Chương 1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN - LIÊN TỤC ................................. . 1 1.1 Hàm số ........................................................................................................... . 1 1.2 Giới hạn dãy số .............................................................................................. . 5 1.3 Giới hạn hàm số ............................................................................................. . 9 1.4 Đại lượng vô cùng bé và đại lượng vô cùng lớn............................................ 14 1.5 Hàm số liên tục .............................................................................................. 16 1.6 Bài tập Chương 1 ........................................................................................... 21 Chương 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN ..................... 23 2.1 Đạo hàm ......................................................................................................... 23 2.2 Vi phân ........................................................................................................... 27 2.3 Ứng dụng của đạo hàm trong toán học .......................................................... 33 2.4 Ứng dụng của đạo hàm trong phân tích kinh tế ............................................. 38 2.5 Bài tập Chương 2 ........................................................................................... 41 CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN ......... 45 3.1 Nguyên hàm và tích phân bất định ................................................................ 45 3.2 Tích phân xác định ......................................................................................... 59 3.3 Tích phân suy rộng......................................................................................... 67 3.4 Ứng dụng của tích phân trong kinh tế............................................................ 75 3.5 Ứng dụng hình học của tích phân xác định ................................................... 76 3.6 Bài tập Chương 3 ........................................................................................... 86 Chương 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .............................................. 91 4.1 Khái niệm mở đầu .......................................................................................... 91 4.2 Phương trình vi phân cấp 1 ............................................................................ 91 4.3 Mô hình vi phân trong kinh tế ..................................................................... 100 ii 4.4 Phương trình vi phân cấp 2 .......................................................................... 103 4.5 Bài tập Chương 4 ......................................................................................... 113 Tài liệu tham khảo .............................................................................................. 116 iii Chương 1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN - LIÊN TỤC Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về hàm số, các tính chất của hàm số, các hàm số sơ cấp cơ bản. Khái niệm giới hạn dãy số, đặc biệt là giới hạn của hàm số và các tính chất của hàm số có giới hạn cũng được xem xét chi tiết ở đây. Hàm số liên tục là vấn đề không thể thiếu trong bất kỳ giáo trình Toán cao cấp nào, đọc giả có thể tìm thấy ở đây gần như đầy đủ các vấn đề liên quan đến tính liên tục của hàm số. 1.1 Hàm số 1.1.1 Ánh xạ Định nghĩa 1.1 Ánh xạ từ tập X vào tập Y là một quy luật tương ứng f sao cho với mỗi phần tử x có một phần tử tương ứng duy nhất y  Y . Kí hiệu f : X → Y . Khi đó, X được gọi là miền xác định của ánh xạ và f ( X ) =  y Y : y = f ( x), x  X  gọi là miền giá trị của ánh xạ. Định nghĩa 1.2 Cho ánh xạ f : X → Y , với X ,Y   , khi đó: f là một đơn ánh  f ( x) = f ( y) thì x = y , x, y  X f là một toàn ánh  f ( X ) = Y f là một song ánh  f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh. Nếu f là một song ánh thì ứng với mỗi phần tử y  Y , có một phần tử duy nhất x  X . Khi đó ánh xạ đi từ Y vào X xác định bởi f ( x) = y được gọi là ánh xạ ngược của f và kí hiệu là ...