Bài giảng Toán cao cấp: Chương 3 - ThS. Nguyễn Phương

Mục tiêu chính của chương 3 Hàm nhiều biến nằm trong bài giảng toán cao cấp nhằm trình bày về: định nghĩa về hàm nhiều biến, giới hạn và liên tục của hàm hai biến, đạo hàm riêng và vi phân toàn phần, đạo hàm riêng cấp cao và vi phân toàn phần cao, cực trị địa phương, cực trị có ràng buộc, ứng dụng trong kinh tế.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp: Chương 3 - ThS. Nguyễn Phương Chương 3: HÀM NHI U BI N Th.S NGUY N PHƯƠNG Khoa Giáo d c cơ b n Trư ng Đ i h c Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 11 tháng 2 năm 2014 1 1 Đ nh nghĩa hàm nhi u bi n 2 Gi i h n và liên t c hàm hai bi n 3 Đ o hàm riêng và vi phân toàn ph n Đ o hàm riêng Vi phân toàn ph n Đ o hàm riêng c a hàm h p Hàm n 4 Đ o hàm riêng c p cao và vi phân toàn ph n c p cao 5 C c tr đ a phương 6 C c tr có ràng bu c 7 ng d ng trong kinh t Ý nghĩa biên t H s co dãn T i ưu trong kinh t 2 Đ nh nghĩa hàm nhi u bi n Đ nh nghĩa Cho t p D ⊂ R2 , D φ, hàm s f : D → R là m t quy t c cho tương ng m i đi m (x, y) ∈ D v i m t z ∈ R đư c g i là hàm hai bi n th c. Kí hi u: z = f(x, y). Mi n D đây đư c g i là mi n xác đ nh c a f(x, y). N u f(x, y) là m t bi u th c gi i tích theo (x, y) mà không ch rõ mi n xác đ nh thì mi n xác đ nh c a hàm f(x, y) là t p h p nh ng đi m (x, y) làm cho f(x, y) có nghĩa. Ví d x2 + y2 Tìm mi n xác đ nh c a hàm s f(x, y) = . x2 − y2 2 2 Khi đó mi n xác đ nh D là mi n sao cho x − y 0, t c là D = {(x, y)|x y, x, y ∈ R}. Gi i h n và liên t c hàm hai bi n Đ nh nghĩa Hàm f(x, y) có gi i h n là L ∈ R khi (x, y) → (x0 , y0 ), n u ∀ > 0,∃δ( , (x0 , y0 )) sao cho ∀(x, y) th a 0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ thì |f(x, y) − L| < . Kí hi u: lim f(x, y) = L. (x,y)→(x0 ,y0 ) Hàm s z = f(x, y) có gi i h n là L khi (x, y) d n đ n (x0 , y0 ) có nghĩa là: Khi M(x, y) d n đ n M0 (x0 , y0 ) thì giá tr c a hàm s t i M(x, y) cũng d n đ n L. Các đ nh lý v gi i h n c a hàm hai bi n cũng tương t c a hàm m t bi n. Gi i h n và liên t c hàm hai bi n Ví d Ch ng minh r ng 1 lim (x2 + y2 ) sin = 0. (x,y)→(0,0) xy Gi i Ta nh n th y r ng 1 −(x2 + y2 ) (x2 + y2 ) sin ≤ (x2 + y2 ). xy Mà lim (x2 + y2 ) = lim (x2 + y2 ) = 0. (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) Do đó ta đư c 1 lim (x2 + y2 ) sin = 0. (x,y)→(0,0) xy 5 Gi i h n và liên t c hàm hai bi n Ví d Ch ng minh không t n t i xy lim . (x,y)→(0,0) x2 + y2 Gi i +) V i y = x thì xy x2 1 lim = lim 2 = . (x,y)→(0,0) x2 +y 2 x→0 2x 2 +) V i y = −x thì xy −x2 1 lim 2 + y2 = lim 2 = − . (x,y)→(0,0) x x→0 2x 2 xy Vì giá tr c a hai gi i khác nhau nên gi i h n lim(x,y)→(0,0) không t n x2 + y2 t i. 6 Gi i h n và liên t c hàm hai bi n Đ nh nghĩa Hàm s f : D ⊂ R2 → R đư c g i là liên t c t i đi m (x0 , y0 ) ∈ D n u lim f(x, y) = f(x0 , y0 ) (x,y)→(x0 ,y0 ) . Hàm s z = f(x, y) liên t c t i (x0 , y0 ) có nghĩa là: Khi M(x, y) d n đ n M0 (x0 , y0 ) thì giá tr c a hàm s t i M(x, y) cũng d n đ n giá tr c a hàm s t i đi m M0 (x0 , y0 ). Các tính ch t c a hàm hai bi n gi ng như hàm m t bi n. Ví d Hàm f(x, y) = sin(x2 + xy − y) là hàm liên t c vì f(x, y) là h p c a hai hàm liên t c u(x, y) = x2 + xy − y2 , g(x) = sin(x). Gi i h n và liên t c hàm hai bi n Ví d Cho hàm s  xy2    khi (x, y) (0, 0); ...