Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 - ThS. Nguyễn Phương

Mục tiêu chính của chương 4 Tích phân hàm số một biến số nằm trong bài giảng toán cao cấp nhằm trình bày về: tích phân bất định, công thức cơ bản của tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng, ứng dụng trong kinh tế, tìm hàm mục tiêu từ hàm cận biên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 - ThS. Nguyễn Phương Chương 4:TÍCH PHÂN HÀM S M T BI N S Th.S NGUY N PHƯƠNG Khoa Giáo d c cơ b n Trư ng Đ i h c Ngân hàng TPHCMBlog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 11 tháng 2 năm 2014 11 Tích phân b t đ nh Đ nh nghĩa Công th c cơ b n c a tích phân b t đ nh Các phương pháp tính tích phân Phương pháp đ i bi n Phương pháp tích phân t ng ph n2 Tích phân xác đ nh3 Tích phân suy r ng Tích phân suy r ng lo i 1 Tích phân suy r ng lo i 24 ng d ng trong kinh t Tìm hàm m c tiêu t hàm c n biên Tìm các đ i lư ng trong kinh t b ng tích phân xác đ nh 2 Tích phân b t đ nh Đ nh nghĩaĐ nh nghĩaHàm s F(x) đư c g i là nguyên hàm c a hàm y = f(x) trên kho ng (a, b) n u F (x) = f(x), ∀x ∈ (a, b)Đ nh lýGi s F(x) là nguyên hàm c a f(x). Hàm Φ(x) là nguyên hàm c a f(x) n u vàch n u Φ(x) = F(x) + C, trong đó C là h ng s nào đó.Đ nh nghĩaCho hàm s F(x) là m t nguyên hàm c a f(x) trên (a, b). Khi đó bi u th c F(x) + C v i C là h ng sđư c g i là tích phân b t đ nh c a hàm f(x) trên kho ng (a, b) và đư c kýhi u là f(x)dx Tích phân b t đ nh Đ nh nghĩaTính ch t 1) f (x)dx = f(x) + C d 2) f(x)dx = f(x) dx 3) af(x)dx = a f(x)dx 4) [f(x) ± g(x)]dx = f(x)dx ± g(x)dx 5) N u f(x)dx = F(x) + C thì f(u)du = F(u) + C, ∀u = u(x). Tích phân b t đ nh Công th c cơ b n c a tích phân b t đ nh xα+11) xα dx = +C dx α+1 8) = − cot x + C dx sin2 x2) = ln |x| + C dx 1 x x 9) = arctan + C x2 + a2 a a ax3) ax dx = +C dx 1 a+x ln a 10) = ln +C4) ex dx = ex + C a2 − x2 2a a−x dx x5) sin xdx = − cos x + C 11) √ = arc sin + C a 2 − x2 a6) cos xdx = sin x + C dx √ 12) √ = ln x + x2 + a + C dx x2 + a7) = tan x + C cos2 x √ x√ 2 a √13) x2 + adx = x + a + ln x + x2 + a + C 2 2 √ x√ 2 a2 x14) a2 − x2 dx = a − x2 + arcsin + C 2 2 a 5 Tích phân b t đ nh Các phương pháp tính tích phânPhương pháp đ i bi nN u f(x)dx = F(x) + Cthì f(φ(t))φ (t)dt = F(φ(t)) + Cv i φ(t) là m t hàm kh vi và liên t cVí dTính tích phân sau dx √ x 3 − ln2 x 6 Tích phân b t đ nh Các phương pháp tính tích phân 1Gi i. Đ t u = ln x =⇒ du = dx, ta có x dx du u ln x √ = √ = arc sin √ + C = arc sin √ + C x 3 − ln2 x 3 − u2 3 3Ví dTính tích phân sau dx cos xGi i. Ta có dx cos xdx cos xdx = = cos x cos2 x 1 − sin2 xĐ t u = sin x =⇒ du = cos xdx dx du 1 1+u 1 1 + sin x = 2 = ln + C = ln +C cos x 1−u 2 1−u 2 1 − sin x 1 x π = ln tan + +C 2 2 4 Tích phân b t đ nh Các phương pháp tính tích phânVí dTính tích phân sau ex √ e2x + 5Gi i. Đ t u = ex =⇒ du = ex dx, ta có ex du √ dx = √ = ln |u + u2 + 5| + C = ln |ex + e2x + 5| + C e2x + 5 u2 + 5Ví dTính tích phân sau dx x(x3 + 3)Gi i. Đ t 3x3 du dx u = x3 + 3 =⇒ du = 3x2 dx ⇐⇒ du = dx ⇐⇒ = =? x 3u(u − 3) x(x3 + 3) Tích phân b t đ nh Các phương pháp tính tích phânTa có, dx du 1 du = = ...