Bài giảng Toán đại cương: Chương 1.3 - TS. Trịnh Thị Hường

Bài giảng Toán đại cương: Chương 1.3 Hệ phương trình tuyến tính, cung cấp cho người học những kiến thức như: Các khái niệm cơ bản; cách giải hệ phương trình tuyến tính; hệ phương trình tuyến tính thuần nhất;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán đại cương: Chương 1.3 - TS. Trịnh Thị Hường CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHBÀI 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Giảng viên: T.S TRỊNH THỊ HƯỜNG Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vnCÁC NỘI DUNG CHÍNH: 1. Các khái niệm cơ bản 1.1. Các dạng biểu diễn của hệ phương trình tuyến tính 1.2. Nghiệm và điều kiện tồn tại nghiệm 2. Cách giải hệ phương trình tuyến tính 2.1. Phương pháp khử dần các ẩn 2.2. Phương pháp Cramer 3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 3.1. Dạng tổng quát 3.2. Điều kiện tồn tại nghiệm không tầm thường 4. Một số dạng bài tập1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN1.1. CÁC DẠNG BIỂU DIỄNa. Dạng tổng quát Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn ?1 , ?2 , … , ?? có dạng: ?11 ?1 + ?12 ?2 + ⋯ + ?1? ?? = ?1 ?21 ?1 + ?22 ?2 + ⋯ + ?2? ?? = ?2 (1) … ?? 1 ?1 + ?? 2 ?2 + ⋯ + ??? ?? = ?? • ??? ( ? = 1, ?, ? = 1, ?) : hệ số ẩn ?? của phương trình thứ ? . • ?? (? = 1, ?): hệ số tự doNhận xét: Từ hệ phương trình ?11 ?1 + ?12 ?2 + ⋯ + ?1? ?? = ?1 ?21 ?1 + ?22 ?2 + ⋯ + ?2? ?? = ?2 … ??1 ?1 + ??2 ?2 + ⋯ + ??? ?? = ?? Rút ra ma trận tương ứng: Kí hiệu: ?11 ?12 … ?1? ?21 ?22 … ?2??= ⋮ : ma trận hệ số của hệ (1) ??1 ?? 2 … ??? ?11 ?12 … ?1? ?1 ?21 ?22 … ?2? ?2?= ⋮ : ma trận hệ số mở rộng của hệ (1) ?? 1 ?? 2 … ??? ??b. Dạng ma trậnKí hiệu các ma trận ? ?1 ?2 ?2 ?= ⋮ ; ?= ⋮ ?? ?? Khi đó, hệ phương trình (1) tương đương với phương trình ma trận: ?? = ?c. Dạng véc tơ Kí hiệu ?? là véctơ cột thứ ? của ma trận A. Hệ (1) viết dưới dạng véc tơ ?1 ?1 + ?2 ?2 + ⋯ + ?? ?? = ?1.2. NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI NGHIỆM Một véctơ n chiều ? 0 = (?1 , ?2 , … , ?? ) được gọi là nghiệm của hệ nếu ta thay các ẩn ?? bởi các số ?? (? = 1, ?) vào tất cả các phương trình của hệ ta được các đẳng thức đúng. Hai hệ phương trình có cùng ẩn số được gọi là tương đương nếu mỗi nghiệm của hệ này cũng là nghiệm của hệ kia và ngược lại, hoặc cả hai hệ phương trình đều vô nghiệmĐịnh lý (Cronecker - Capelly) Điều kiệncần và đủ để mọi hệ phương trình tuyến tínhcó nghiệm là r A = r(A).Nhận xét:r A = r A = n = số ẩn: Hệ phương trìnhcó nghiệm duy nhất.r A = r A < n : Hệ phương trình có vô sốnghiệm.r A ≠ r(A): Hệ phương trình vô nghiệm. 2. CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1. CÁC PHƯƠNG PHÁP KHỬ DẦN ẨN a. Ba phép biến đổi tương đương của hệ phương trình Đổi chỗ hai phương trình Nhân hai vế của một phương trình với cùng một số khác không. Nhân hai vế của một phương trình với cùng một số bất kỳ, rồi cộng vào hai vế tương ứng của một phương trình khác.Nhận xét: Ba phép biến đổi tương đương trên hệ phươngtrình tương ứng là ba phép biến đổi sơ cấp trên các dòngcủa ma trận hệ số mở rộng ? .b. Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác ?11 ?1 + ?12 ?2 + ⋯ + ?1,? −1 ?? −1 + ?1? ?? = ?1 ?22 ?2 + ⋯ + ?2,?−1 ??−1 + ?2? ?? = ?2 ⋮ ??−1,?−1 ?? −1 + ?? −1,? ?? = ?? −1 ??? ?? = ??( ??? ≠ 0, ∀? = 1, ?) ??Giải: Từ phương trình thứ n, tính được ?? = . ? ??Thế vào phương trình thứ ? − 1, tính được ??−1 .Tiếp tục quá trình đó, hệ phương trình có nghiệm duynhất: ? = ?1 , ?2 , … , ??Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: ? + 4? − 2? = 3 ? − 3? = −7 2? = 6c. Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang ?11 ?1 + ?12 ?2 + ⋯ + ?1? ?? + ⋯ + ?1? ?? = ?1 ?22 ?2 + ⋯ + ?2? ?? + ⋯ + ?2? ?? = ?2 ⋮ ??? ?? + ⋯ + ??? ?? = ?? ( ??? ≠ 0, ∀? = 1, ?) Nhận xét: ? ? = ? ? = ? < ? nên hệ có vô số nghiệm. Gọi ?1 , ?2 , … , ?? là các ẩn cơ sở ( ? ẩn cơ sở phảiứng với ? cột tạo thành định thức cấp ? khác không),các ẩn còn lại là các ẩn ngoài cơ sở hay các ẩn tự do.Cách giải hệ hình thang: Chuyển các ẩn tự do sang vế phải ta có hệ phương trình dạng tam giác đối với các ẩn cơ sở. Cho các ẩn tự do nhận giá trị tùy ý. Tìm các ẩn cơ sở qua các ẩn tự do. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: ?1 − 2?2 + 3?3 − 4?4 = 4 ?2 − ?3 + ?4 = −3d. Giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát bằng phương pháp khử dần các ẩnPhương pháp: Sử dụng các phép biến đổi tương đương, đưa hệ phương trình về dạng tam giác hoặc hình thang. Ví dụ 3: Giải hệ phương trình (Bài 3.1 ý 2) ?1 − 2?2 + 3?3 − 4?4 = 4 ?2 − ?3 + ?4 = −3 ?1 + 3?2 − 3?4 = 1 ...