Bài giảng Toán đại cương: Chương 2 - TS. Trịnh Thị Hường

Bài giảng Toán đại cương: Chương 2 Giải tích, cung cấp cho người học những kiến thức như: Hàm số thực nhiều biến; Đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toán cực trị; Cực trị tự do; Cực trị có điều kiện. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán đại cương: Chương 2 - TS. Trịnh Thị HườngHỌC PHẦN TOÁN ĐẠI CƯƠNG CHƯƠNG 2: GIẢI TÍCH Giảng viên: T.S Trịnh Thị Hường Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vnNỘI DUNG CHÍNH1. Hàm số thực nhiều biến2. Đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toáncực trịa. Cực trị tự dob. Cực trị có điều kiện1. Khái niệm hàm sốCho tập ? ⊂ ℝ2 . Một quy luật ?, đặt tương ứng mỗicặp ?, ? ∈ ? với một số thực ? = ?(?, ?) ∈ ℝ đượcgọi là một hàm của hai biến độc lập ? và ?.Kí hiệu: ?: ? → ℝ ?, ? ⟼ ? = ?(?, ?)Ví dụ:a. ? = ? 2 + 3?? − ? 3 ,b. ? = ln ? 2 + ? 2 − 1 + 4 − ? 2 − ? 2 .2. Đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toán cực trịĐịnh nghĩa 1:Cho hàm ?(?, ?) xác định trong lân cận của điểm(?0 , ?0 ). Đạo hàm riêng cấp 1 theo ? tại điểm(?0 , ?0 ) nếu có được kí hiệu và xác định như sau: ? ?0 +∆?,?0 −?(?0 ,?0 ) ??′ ?0 , ?0 = lim . ∆?→0 ∆?- Tương tự có đạo hàm riêng cấp 1 theo ? tại (?0 , ?0 ) là ??′ ?0 , ?0 .Nhận xét: Trong thực hành muốn tính ĐHR cấp 1theo ? thì coi ? là hằng số và đạo hàm như đối vớihàm một biến. Tương tự, tính đạo hàm riêng theo ?thì coi ? là hằng số.Ví dụ: Tính các đạo hàm cấp riêng cấp 1 của hàmsố:? ?, ? = ? 2 + 4?? − 3? 4 + 2? − 3? + 1 .Định nghĩa 2: Đạo hàm riêng cấp 2 ′′ = (? ′ )′ ??? ′′ = (? ′ )′ ??? ? ? ? ? ′′ = (? ′ )′ ??? ? ′′ = (? ′ )′ . ? ? ?? ? ?Nhận xét: Trong chương trình học ′′ ′′??? ?, ? = ??? ?, ? ∀ ?, ? ∈ ?.Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng đến cấp hai củahàm sau: ? ?, ? = ? ? + ? 2 − 2?? 3 + 8 .Ứng dụng ĐHR tìm cực trị của hàm hai biến:a. Cực trị tự doĐịnh nghĩa:Hàm ?(?, ?) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm ?(?0 , ?0 )nếu tồn tại một lân cận của M sao cho trên đó? ?0 , ?0 ≥ ?(?, ?). (tương ứng ? ?0 , ?0 ≤ ?(?, ?)).Kí hiệu: ??Đ ; ??? .Điều kiện cần của cực trịĐịnh lý:Nếu hàm ?(?, ?) đạt cực trị tại điểm ?(?0 , ?0 )và tại đó có các ĐHR thì ??′ ?0 , ?0 = 0 ൝ ′ ?? ?0 , ?0 = 0Mỗi điểm M thoả mãn hệ thức trên được gọi là mộtđiểm dừng (hay điểm tới hạn) của hàm số.Điều kiện đủ của cực trị:Định lý:Giả sử điểm ?(?0 , ?0 ) là một điểm dừng củahàm ?(?, ?) và tại đó hàm số có các ĐHR cấp hai: ′′ ? , ? ? = ??? ; ? = ? ′′ ? , ? ; ? = ? ′′ ? , ? . 0 0 ?? 0 0 ?? 0 0- Nếu ?2 − ?? > 0 thì M không là cực trị.- Nếu ?2 − ?? < 0 thì M là cực trị, khi đó: Nếu ? > 0 thì M là cực tiểu, Nếu ? < 0 thì M là cực đại.- Nếu ?2 − ?? = 0 thì chưa kết luận được về tính cựctrị của Mb. Cực trị có điều kiệnBài toán: Tìm cực trị của hàm ? = ?(?, ?) với điềukiện ? ?, ? = 0.Phương pháp giải: Phương pháp nhân tử lagrang.Xét bài toán tìm cực trị của hàm hai biến có ràngbuộc: ? = ?(?, ?) ቊ . ? ?, ? = 0Lập hàm lagrang: ? ?, ?, ? = ? ?, ? − ??(?, ?).Điều kiện cần của cực trịNếu hàm số đạt cực trị tại ?0 (?0 , ?0 ) thì tồn tại ?0 saocho bộ ba (?0 , ?0 , ?0 ) thỏa mãn: ?′? ?0 , ?0 , ?0 = 0 ൞?′? ?0 , ?0 , ?0 = 0 ?′? ?0 , ?0 , ?0 = 0Khi đó ?0 , ?0 , ?0 được gọi là một điểm dừng củahàm Lagrang.Điều kiện đủ của cực trịGiả sử ?0 , ?0 , ?0 là một điểm dừng của hàmLagrang. 0 ??′ ??′Đặt ? = ??′ ?′′?? ?′′?? ??′ ?′′?? ?′′?? ?0 ,?0 ,?0Khi đó:+) Nếu ? > 0 thì ?0 (?0 , ?0 ) là điểm cực đại của bàitoán đã cho.+) Nếu ? < 0 thì ?0 (?0 , ?0 ) là điểm cực tiểu của bàitoán đã cho.Ví dụ: Tìm cực trị của hàm?. ? = ? + ? với điều kiện ? 2 + ? 2 = 8.b. ? = ? 3 + ? 3 − 3?? với điều kiện ? + ? = 2. ...