Bài giảng Toán giải tích 1: Chương 7 - Dương Minh Đức

Bài giảng "Toán giải tích 1 - Chương 7: Hàm số vi phân" cung cấp cho người học định nghĩa về hàm số vi phân và các bài toán chứng minh cho hàm số vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán giải tích 1: Chương 7 - Dương Minh Đức CHÖÔNG BAÛY P H EÙ P T Í N H V I P H AÂ N Quan saùt moät chieác xe chaïy treân ñöôøng thaúng, chuùng tamuoán xeùt vieäc chaïy nhanh hoaëc chaäm cuûa noù taïi moätthôøi ñieåm t . Ta moâ hình toaùn hoïc vieäc naøy nhö sau: ghivò trí chieác xe taïi thôøi ñieåm s laø x(s). Với một thời điểm skhaù gaàn nhö khaùc t, ta tính ñöôïc vaän toác trung bình cuûachieác xe trong khoaûng thôøi gian töø t ñeán s nhö sau x(s) − x(t ) x(t) x(r) vt ,s = s−t x(s) 324 x(s) − x(t ) x(t) x(r)vt ,s = s−t x(s) Vaän toác trung bình vt,s cho chuùng ta caùc thoâng tin veàvieäc chaïy nhanh hoaëc chaäm cuûa chieác xe taïi thôøi ñieåm t.Neáu s caøng gaàn t hôn, thì vt,s caøng cho chuùng ta caùcthoâng tin chính xaùc hôn veà vieäc chaïy nhanh hoaëc chaämcuûa chieác xe taïi thôøi ñieåm t. Vaäy ñeå bieát vieäc chaïy nhanh hoaëc chaäm cuûa chieác xe taïithôøi ñieåm t, ta phaûi xeùt vò trí x(r) cuûa chieác xe taïi caùc thôøiñieåm r trong moät taäp hôïp A. Taäp hôïp A naøy phaûi coù tínhchaát : luoân luoân coù caùc phaàn töû khaùc t nhöng raát gaàn325t.Ta moâ hình toaùn hoïc yù töôûng beân treân nhö sau Ñònh nghóa. Cho A laø moät taäp con khaùc troáng cuûa —vaø x ∈ —. Ta noùi x laø moät ñieåm tuï cuûa A neáu vôùi moïi soáthöïc döông δ ta tìm ñöôïc y ∈ A sao cho 0 < |x - y | < δ.Taäp hôïp taát caû caùc ñieåm tuï cuûa A ñöôïc kyù hieäu laø A* . y A x-δ x x+δ$ y ∈ A … {( x - δ , x + δ ) \ {x}} x ∈ A*$ y ∈ {A \ {x}}… ( x - δ , x + δ ) ñ x ∈ (A \ x}) *{A \ {x}}… ( x - δ , x + δ ) ∫ « 326Baøi toaùn 73. Cho A = (0,1) vaø x = 0 . Chöùng minh x laømoät ñieåm tuï cuûa ACho δ > 0, tìm y ∈ A sao cho 0 < |x - y | < δCho δ > 0, tìm y ∈ (0,1) sao cho 0< |0-y| 0, tìm y ∈ (0,1) sao cho 0< y Baøi toaùn 74. Cho A = [0,1] vaø x = 0 . Chöùng minh x laømoät ñieåm tuï cuûa ACho δ > 0, tìm y ∈ A sao cho 0 < |x - y | < δCho δ > 0, tìm y ∈ (0,1) sao cho 0< |0-y| 0, tìm y ∈ (0,1) sao cho 0< y Baøi toaùn 75. Cho A = { 0 } » [ 2-1, 1] vaø x = 0 .Chöùng minh x khoâng laø moät ñieåm tuï cuûa A ∀ δ > 0, {A \ {x}}… ( x - δ , x + δ ) ∫ « ∃ δ > 0, {A \ {x}}… ( x - δ , x + δ ) = « ∃ δ > 0, [2-1,1]… (- δ , δ ) = « 1 0 2 A 1Choïn δ = 1 > 0 4 x- 1 x x+ = 1 1 4 4 4 1 1 1{A \ {x}} ∩ ( x − δ , x + δ ) = [ , 1] ∩ (− , ) = φ 2 4 4 329Baøi toaùn 76. Cho B laø moät taäp hôïp con khaùc troáng cuûa—, a ∈ B* . Ñaët A = B »{a}. Chöùng minh a ∈ A* .∀ δ > 0, ta coù {B \ {a}}… ( a - δ , a + δ ) ∫ «∀ δ > 0, chöùng minh {A \ {a}}… ( a - δ , a + δ ) ∫ «A \ {a} = B \ {a} ?A \ {a} = A ∩(— \ {a}) = (B »{a}) ∩(— \ {a}) = (B ∩(— \ {a}) )»({a}∩(— \ {a}) = B ∩(— \ {a}) = B \ {a} 330 Quan saùt moät chieác xe chaïy treân ñöôøng thaúng, chuùng tamuoán xeùt vieäc chaïy nhanh hoaëc chaäm cuûa noù taïi moätthôøi ñieåm t . Ta moâ hình toaùn hoïc vieäc naøy nhö sau • choïn moät taäp hôïp caùc thôøi ñieåm A sao cho t laø moätñieåm tuï cuûa A, • với một thời điểm s ∈ A \ {t}, ta tính vaän toác trung bìnhvt,s cuûa chieác xe trong khoaûng thôøi gian töø t ñeán s.• neáu s caøng gaàn t thì vt,s caøng gaàn moät soá thöïc v . Tanoùi v laø vaän toác töùc thôøi cuûa chieác xe taïi thôøi ñieåm t. x(s) − x(t ) x(t) x(r)vt ,s = s−t x(s) 331Ta thöû xem moâ hình toaùn hoïc yù töôûng beân treân nhö sau.Ñònh nghóa. Cho A laø moät taäp con khaùc troáng cuûa —,c ∈ —, f laø moät haøm soá thöïc treân A vaø a ∈ A* . Ta noùi • f coù giôùi haïn laø c taïi a neáu vaø chæ neáu vôùi moïi soáthöïc döông ε coù moät soá thöïc döông δ(ε) sao cho | f(x) - c | < ε ∀ x ∈ A vôùi 0 < |x - a| < δ(ε) ,vaøø kyù hieäu lim f ( x ) = c . x →a 332Baøi toaùn 77. Cho A = [0,1] , a = 0 vaø ⎧ x −1 ⎪ ∀ x ∈ [0,1), f (x) = ⎨ x − 1 ⎪ 1 neáu x = 1. ⎩Chöùng minh lim f ( x ) = 1 x →0 ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho | f(x) - 1| < ε ∀ x∈A vôùi 0 < |x - 0| < δ(ε) ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho| f(x) - 1 | < ε ∀ x ∈ [0,1] vôùi 0 < x < δ(ε) x − 1 ( x − 1)( x + 1) 1f ( x) = = = ∀x ∈ (3330,1) x −1 ( x − 1)( x + 1) x +1ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho | f(x) - 1 | < ε ∀ x ∈ [0,1] vôùi 0 < x < δ(ε) x − 1 ( x − 1)( x + 1) 1f ( x) = = = ∀x ∈ (0,1) x −1 ( x − 1)( x + 1) x +1 1 x| f ( x ) − 1| =| − 1| =| |< x ∀x ∈ ( 0,1) x +1 x +1ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho x < ε ∀ x ∈ [0,1] vôùi 0 < x < δ(ε) x ≤ε x≤ε 2 δ (ε ) = ε 2 ε > 0 , ñaët δ(ε) = ε2 ta coù | f(x) - 1 | < ε ∀ x ∈ [0,1] vôùi 0 < x < δ(ε) 334Baøi toaù ...