Bài giảng Toán giải tích - Chương 1: Bổ túc toán

Bài giảng "Toán giải tích - Chương 1: Bổ túc toán" cung cấp cho người đọc các kiến thức: Tập hợp, quan hệ, phép chứng minh quy nạp, đồ thị và cây. Đây là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên khối ngành tự nhiên dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán giải tích - Chương 1: Bổ túc toánChương 1: Bổ túc toán Nội dung: • Tập hợp • Quan hệ • Phép chứng minh quy nạp • Đồ thị và cây 1 Tập hợp (Set) Phần tửVí dụ: • D = {Mon, Tue, Wed, Thu, Fri, Sat, Sun} • Tập các đối tượng rời rạc • Không trùng lắpĐịnh nghĩa: • Tập hợp là tập các đối tượng không có sự lặp lại 2 Ký hiệu tập hợpLiệt kê phần tử: • D = {1, 2, 3}Đặc tả tính chất đặc trưng: • D = { x | x là một ngày trong tuần } 3Một số dạng tập hợp đặc biệtTập rỗng: • Ký hiệu:  hoặc { }Tập hợp con: • Ký hiệu: A  B (Ngược lại: A  B ) • { 1, 2, 4 }  { 1, 2, 3, 4, 5 } • { 2, 4, 6 }  { 1, 2, 3, 4, 5 } 4Một số dạng tập hợp đặc biệtTập hợp bằng nhau: • Ký hiệu: A = B (Ngược lại: A  B ) • { 1, 2 } = { 2, 1 } nhưng { 1, 2, 3 }  { 2, 1 }Tập lũy thừa: • Ký hiệu: 2A • A = { 1, 2, 3 } thì 2A = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {1, 2, 3} } 5Các phép toán trên tập hợpPhần bù (complement): • A’ = { x | x  A }Phép hợp (Union): • A  B = { x | x  A hoặc x  B }Phép giao (intersection): • A  B = { x | x A và x  B } 6Các phép toán trên tập hợpPhép trừ (difference): • A B = { x | x  A nhưng x  B }Tích Đềcác: • A x B = { (a,b) | a  A và b  B } 7Các phép toán trên tập hợpVí dụ: cho A = {1, 2} và B = {2, 3} • A  B = { 1, 2, 3 } • AB={2} • AB={1} • A x B = { (1,2 ), (1, 3), (2, 2), (2, 3) } • 2A = { , {1}, {2}, {1, 2} } 8 Quan hệ S R ( A  B ) = aRbmiền xác định (domain)  miền giá trị (range) 9 Quan hệVí dụ: cho S = {0, 1, 2, 3} • Quan hệ ‘thứ tự nhỏ hơn’ L = { (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3) } • Quan hệ ‘bằng’ E = { (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3) } • Quan hệ ‘chẵn lẻ’ P = { (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (0, 2), (2, 0), (1, 3), (3, 1)} 10 Các tính chất của quan hệPhản xạ (reflexive): nếu aRa là đúng với aSĐối xứng (symmetric): nếu aRb thì bRaBắc cầu (transitive): nếu aRb và bRc thì aRcVí dụ:• L không là quan hệ phản xạ hay đối xứng 11• E và P mang tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu Quan hệ tương đương Quan hệ tương đương = Quan hệ phản xạ, đối xứng và bắc cầuVí dụ:• E và P là quan hệ tương đương• L không là quan hệ tương đương 12 Lớp tương đươngNếu R là quan hệ tương đương trên S thì R phân hoạch S thành các lớp tương đương không rỗng và rời nhau: S = S1  S2  …Tính chất:• Si  Sj = • Nếu a, b cùng thuộc Si thì aRb đúng• Nếu a  Si và b  Sj thì aRb saiVí dụ: P có 2 lớp tương đương {0, 2} và {1, 3} 13 Bao đóng của quan hệ P-closure = quan hệ nhỏ nhất thỏa các tính chất trong PBao đóng bắc cầu R+: • Nếu (a,b)  R thì (a,b) R+ • Nếu (a,b)  R và (b,c)  R thì (a,c)  R+ • Không còn gì thêm trong R+Bao đóng phản xạ và bắc cầu R*: • R* = R+  { (a, a)  a  S } 14 Bao đóng của quan hệVí dụ: R = { (1, 2), (2, 2), (2, 3) } trên S = {1, 2, 3}• R+ = { (1, 2), (2, 2), (2, 3), (1, 3) }• R* = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3) } 15 Nguyên lý quy nạpBước 1 (cơ sở quy nạp): chứng minh P(0)Bước 2 (giả thiết quy nạp): giả sử P(n-1)Bước 3 (quy nạp): P(n - 1)  P(n),  n  1. n n ( n  1)(2n  1) 2Ví dụ: chứng minh  i  6 i 0 16 Đồ thị (Graph)Đồ thị G = (V, E) • V : tập các đỉnh (nút) • E : tập các cạnh nối giữa 2 nútVí dụ: đồ thị G = (V, E)• V = { 1, 2, 3, 4, 5 }  • E = { (n, m) | n+m = 4 hoặc n+m = 7}    17Đồ thị có hướng (Directed graph) Đồ thị G = (V, E) • V : tập các đỉnh (nút) • E : tập các cung có hướng v  w Ví dụ: đồ thị G = (V, E) • V = { 1, 2, 3, 4 } • E={iji Cây (Trees)Cây: là đồ thị có hướng • 1 nút gốc • Nút trung gian (nút trong) • Nút lá: không dẫn ra nút con • Thứ tự duyệt trên cây: ...