Bài giảng Toán kinh tế - Chương 2: Đạo hàm – Vi phân

Bài giảng cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm và vi phân, đạo hàm của hàm số hợp, công thức Leibniz, chiều biến thiên của hàm số, điều kiện cần của cực trị,... Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học môn dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán kinh tế - Chương 2: Đạo hàm – Vi phân C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾNĐịnh nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) vàx0 (a,b). Nếu tồn tại f (x) f (x 0 ) lim x x0 x x0thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x 0. Kýhiệu f’(x0), y’(x0)Đặt x = x – x0, ta có x = x0 + x và đặt y = f(x0 + x) – f(x0)thì y y lim x 0 xKý hiệu dy/dx, df/dx 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 1 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN y- Đạo hàm bên phải: y lim x 0 x y- Đạo hàm bên trái: y lim x 0 x- Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàmtại mọi điểm trong khoảng đó,- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọiđiểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm tráitại bVí dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 2 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂNĐạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì: 1) u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’ 2) u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u u u v v u 3) u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x) 0 và v v2Đạo hàm của hàm số hợp:Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạohàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f0u có đạo hàm theo xvà y’(x) = y’(u).u’(x). 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 3 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂNĐạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàmsố ngược x = f-1(y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo hàm tại y = f(x): 1 1 1 (f ) ( y) 1 f (x) f [ f ( y)]Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 4 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂNĐạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:(c)’ = 0 (c: hằng số) 1 (log x ) a (a 0,a 1,x 0)(x )’ = x -1 ( R, x > 0) x ln a(ax)’ = axlna (a > 0, a ≠ 1) 1 (ln x ) (x 0) x(ex)’ = ex 1(sinx)’ = cosx (arcsin x ) ( x 1) 2 1 x(cosx)’ = -sinx 1 (arccos x ) ( x 1) 2 1 x 1 1( tgx ) 2 (x /2 k ,k Z) (arctgx ) cos x 1 x2 1 1(cot gx ) (x k ,k Z) (arc cot gx ) sin x 2 1 x2 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 5 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂNĐạo hàm cao cấp: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạohàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạohàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) d 2 y d 2f 2 , 2 dx dx Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàmcấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x). dn y dnf n , n dx dxVí dụ: Cho y = x ( R, x > 0), y = kex, tìm y(n) 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 6 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂNCông thức Leibniz:Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n) n (uv) (n ) C kn u ( n k) .v k trong đó u(0) = u, v(0) = v k 0 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 7 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2. VI PHÂNĐịnh nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df= f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm số f.Ví dụ: tìm dy với y 1 ln xVi phân của tổng, tích, thương: Từ công thức của đạo hàm ta suy ra: 1) d(u + v) = du + dv 2) d(u.v) = vdu + udv u vdu udv d v v2 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 8 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂNỨng dụng vi phân vào tính gần đúng: Khi x 0, thì f(x0+ x) – f(x0) và f’(x0) x là hai VCBtương đương, nên khi x khá nhỏ, ta có công thức gần đúng f(x0+ x) f(x0) + f’(x0) x Ví dụ, tìm 4 15,8Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu d(n) ...