Bài giảng Toán T1: Chương 2 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Bài giảng Toán T1 - Chương 2 trình bày các kiến thức về dãy số thực. Các nội dung chính cần nắm trong chương này gồm có: Dãy số hội tụ và các tính chất, dãy con và Định lý Bolzano - Weierstrass, dãy Cauchy. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt các nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán T1: Chương 2 - ThS. Huỳnh Văn Kha Chương 2 DÃY SỐ THỰC Huỳnh Văn Kha ĐH Tôn Đức Thắng Toán T1 - MS: C01016Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 1 / 19 Nội dung 1 Dãy số hội tụ và các tính chất Dãy số – Giới hạn – Một số tính chất Tiêu chuẩn Weierstrass – Số e Các giới hạn cơ bản – Tính giới hạn 2 Dãy con và Định lý Bolzano - Weierstrass 3 Dãy CauchyHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 1 / 19 Dãy số Một dãy số có thể được xem là một dãy (vô hạn) các con số được được xếp theo một thứ tự nào đó a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an , . . . . Với mỗi số tự nhiên n ta có tương ứng duy nhất một số thực an cho nên có thể định nghĩa dãy số là một ánh xạ từ N vào R. Dãy số {a1 , a2 , a3 , . . . } được ký hiệu là {an } hoặc {an }∞ n=1 Chú ý, dãy số có thể được đánh số từ 0 hoặc từ bất kỳ số tự nhiên nào khác.Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 2 / 19 Dãy số thường được cho dưới dạng công thức cho an . Ví dụ 1. ∞ n n 1. Dãy có an = n + 1 n=1 n+1 1 2 3 4 n , , , ,..., ,... 2 3 4 5 n+1 n n √ o∞ √ 2. Dãy (−1) n−3 có an = (−1)n n − 3 n=3 n √ √ n √ o 0, 1, − 2, 3, . . . , (−1) n − 3, . . . 3. Dãy {cos(nπ/3)}∞ n=0 có an = cos(nπ/3) {1, 1/2, −1/2, −1, . . . , cos(nπ/3), . . . }Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 3 / 19 Tuy nhiên nhiều dãy số không thể cho dưới dạng công thức đơn giản như vậy. Ví dụ 2 1. Dãy Fibonacci {an } được định nghĩa bằng quy nạp a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + an−2 , n≥3 2. Gọi an là ký tự thứ n trong phần thập phân của số π thì các phần tử đầu tiên của dãy {an } là {1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 4, . . . } 3. Gọi pn là số dân thế giới vào Ngày 31 Tháng 12 Năm n.Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 4 / 19 Dãy số hội tụ n Xét dãy số an = n+1Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 5 / 19 Ta thấy an = n/(n + 1) tiến về 1 khi n đủ lớn. Cụ thể ta thấy khoảng cách giữa 1 và an là n 1 1− = . n+1 n+1 Khoảng cách này có thể nhỏ tùy ý miễn n đủ lớn. Trong trường hợp này, ta nói dãy {n/(n + 1)} có giới hạn là 1 và viết n lim = 1. n→∞ n + 1 Tổng quát, dãy {an } được nói là có giới hạn bằng L nếu các an có thể gần L tùy ý khi n đủ lớn. Ký hiệu lim an = L hoặc lim an = L. n→∞Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 6 / 19 Một cách chính xác, ta có định nghĩa Định nghĩa Dãy số an được nói là có giới hạn bằng L nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại số tự nhiên N sao cho |an − L| < ε, ∀n ≥ N.Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 7 / 19 Tương tự, dãy số an được nói là có giới hạn bằng ∞ (tương ứng −∞) nếu với mọi số thực M đều tồn tại số tự nhiên N sao cho an > M, ∀n ≥ N (tương ứng an < M, ∀n ≥ N). Khi đó ta cũng ký hiệu lim an = ∞ (tương ứng lim an = −∞) và nói dãy {an } có giới hạn bằng ∞ (hoặc −∞). Nếu lim an = L ∈ R thì ta nói {an } là dãy hội tụ. Ngược lại, nếu lim an = ±∞ hoặc lim an không tồn tại thì ta nói {an } là dãy phân kỳ.Huỳnh Vă ...