Bài giảng Toán T1: Chương 4 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 4 trang bị cho người học những kiên thức về vi phân hàm một biến. Các nội dung chính trong chương này gồm: Đạo hàm và các tích chất, vi phân, quy tắc L’Hospital, định lý giá trị trung bình và ks hàm số, công thức Taylor, Mac Laurin. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán T1: Chương 4 - ThS. Huỳnh Văn Kha Chương 4 VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Huỳnh Văn Kha ĐH Tôn Đức Thắng Toán T1 - MS: C01016Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 1 / 26 Nội dung 1 Đạo hàm và các tích chất Đạo hàm, đạo hàm một phía và tính chất 2 Vi phân 3 Quy tắc L’Hospital 4 Định lý giá trị trung bình và ks hàm số Định lý giá trị trung bình Đơn điệu, cực trị, điểm uốn 5 Công thức Taylor, Mac LaurinHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 1 / 26 Đạo hàm Định nghĩa Cho f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b), giới hạn f (x0 + ∆x) − f (x0 ) lim (nếu có) được gọi là đạo hàm ∆x→0 ∆x của f tại x0 . Ký hiệu: f 0 (x0 ). f (x0 + ∆x) − f (x0 ) f+0 (x0 ) = lim + được gọi là đạo ∆x→0 ∆x hàm phải của f tại x0 . f (x0 + ∆x) − f (x0 ) f−0 (x0 ) = lim − được gọi là đạo ∆x→0 ∆x hàm trái của f tại x0 .Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 2 / 26 Nếu f có đạo hàm tại mọi x0 ∈ (a, b) thì f 0 là một hàm số f 0 : (a, b) → R x 7→ f 0 (x) Nếu hàm số này có đạo hàm tại x0 ∈ (a, b) thì ta nói f có đạo hàm cấp hai tại x0 . Ký hiệu: f 00 (x0 ) = (f 0 )0 (x0 ) Nếu f có đạo hàm cấp n là f (n) thì đạo hàm cấp n + 1 được định nghĩa là: f (n+1) (x) = (f (n) )0 (x) Các đạo hàm của y = f (x) còn được ký hiệu: df dy 00 d2 f d2 y f 0 (x) = (x) = , f (x) = 2 (x) = 2 , · · · dx dx dx dx Nếu f có đạo hàm tại x thì f liên tục tại xHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 3 / 26 Các tính chất của đạo hàm Nếu f , g có đạo hàm tại x ∈ (a, b) thì: 1. (f + g )0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x) 2. (αf )0 (x) = αf 0 (x), với α ∈ R 3. (fg )0 (x) = f 0 (x)g (x) + f (x)g 0 (x) 0 f f 0 (x)g (x) − f (x)g 0 (x) 4. (x) = g g 2 (x) 5. (g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x))f 0 (x) 6. Nếu f đơn ánh và f 0 (x) 6= 0 thì f −1 cũng có đạo hàm tại y = f (x) và: 1 1 (f −1 )0 (y ) = 0 = 0 −1 f (x) f (f (y ))Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 4 / 26 Đạo hàm các hàm sơ cấp f (x) f 0 (x) f (x) f 0 (x) 1 ex ex ln x x 1 ax ax ln a loga x x ln a xα αx α−1 1 sin x cos x tan x 2 = 1 + tan2 x cos x −1 cos x − sin x cot x 2 = −(1 + cot2 x) sin x 1 −1 arcsin x √ arccos x √ 1 − x2 1 − x2 1 arctan x 1 + x2Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 5 / 26 Ví dụ cos x 1. f (x) = . Tính f 0 (x). 2 + sin(x) 1 2. f (x) = arctan . Tính f 0 (x). x 1 3. f (x) = . Tính f 0 (x), f 00 (x), f 000 (x), f (n) (x) và 1 + x 1 f (20) . 2Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Vi phân hàm một biến Toán T1 - MS: C01016 6 / 26 Khả vi – Vi p ...