Bài giảng Toán T1: Chương 7 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Bài giảng Toán T1 - Chương 7 trang bị cho người học những kiến thức về cực trị hàm nhiều biến. Những nội dung chính cần nắm bắt trong chương chương này gồm có: Cực trị địa phương, cực trị có điều kiện, phương pháp phân tử Lagrange, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán T1: Chương 7 - ThS. Huỳnh Văn Kha Chương 7 CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN Huỳnh Văn Kha ĐH Tôn Đức Thắng Toán T1 - MS: C01016Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 1 / 16 Nội dung 1 Cực trị địa phương Định nghĩa Điều kiện cần Điều kiện đủ 2 Cực trị có điều kiện - pp nhân tử Lagrange 3 GTLN - GTNNHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 1 / 16 Định nghĩa cực trị Một lân cận của điểm (a, b) là một đĩa tròn tâm (a, b) Định nghĩa Cho f xác định trên một lân cận của (a, b) Điểm (a, b) được gọi là điểm cực đại (địa phương) của f nếu f (x, y ) ≤ f (a, b) với mọi (x, y ) trong một lân cận nào đó của (a, b). Khi đó số f (a, b) được gọi là một giá trị cực đại (địa phương) của f . Tương tự, điểm (a, b) được gọi là điểm cực tiểu (địa phương) của f nếu f (x, y ) ≥ f (a, b) với mọi (x, y ) trong một lân cận nào đó của (a, b). Khi đó số f (a, b) được gọi là một giá trị cực tiểu (địa phương) của f .Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 2 / 16 Nếu (a, b) là điểm cực đại hoặc cực tiểu của f , thì ta nói (a, b) là một cực trị của f Nếu f (x, y ) ≤ f (a, b) (hay f (x, y ) ≥ f (a, b)), ∀(x, y ) ∈ D (D là tập xác định của f ), thì ta nói f đạt giá trị lớn nhất (hay giá trị nhỏ nhất) tại (a, b)Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 3 / 16 Điều kiện cần Định lý Nếu f đạt cực đại hoặc cực tiểu địa phương tại (a, b) và các đạo hàm riêng cấp một đều tồn tại, khi đó fx (a, b) = 0 và fy (a, b) = 0 Điểm (a, b) được gọi là điểm dừng của f nếu fx (a, b) = 0 và fy (a, b) = 0, hoặc nếu một trong hai đạo hàm riêng nói trên không tồn tại. Định lý này nói rằng nếu f có cực đại hoặc cực tiểu tại (a, b) thì (a, b) là điểm dừng của f . Tuy nhiên, không phải mọi điểm dừng đều là điểm cực đại hay cực tiểu.Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 4 / 16 Ví dụ 1 Cho f (x, y ) = x 2 + y 2 − 2x − 6y + 14 f chỉ có một điểm dừng là (1, 3) Do f (x, y ) = 4 + (x − 1)2 + (y − 3)2 ≥ 4 = f (1, 3) với mọi x, y , nên f đạt cực tiểu tại (1, 3)Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 5 / 16 Ví dụ 2 Xét hàm f (x, y ) = y 2 − x 2 f chỉ có một điểm dừng là (0, 0). Trên trục Ox thì f (x, 0) = −x 2 < 0, nếu x 6= 0 Trên trục Oy thì f (0, y ) = y 2 > 0, nếu y 6= 0 Do đó trên một đĩa tròn tâm (0, 0), luôn có các điểm mà ở đó f nhận giá trị dương, cũng như luôn có các điểm mà ở đó f nhận giá trị âm. Vậy f (0, 0) = 0 không thể là giá trị cực đại hoặc cực tiểu của f . Nói cách khác f không có cực trị.Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 6 / 16Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 7 / 16 Điều kiện đủ Định lý Giả sử các đạo hàm riêng cấp hai của f đều tồn tại và liên tục trên một đĩa tròn tâm (a, b) và giả sử rằng fx (a, b) = 0, fy (a, b) = 0 (tức là (a, b) là điểm dừng của f ). Đặt: D = D(a, b) = fxx (a, b)fyy (a, b) − [fxy (a, b)]2 a. Nếu D > 0 và fxx (a, b) > 0 thì (a, b) là điểm cực tiểu b. Nếu D > 0 và fxx (a, b) < 0 thì (a, b) là điểm cực đại c. Nếu D < 0 thì (a, b) không là cực trị.Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 8 / 16 Chú ý Nếu trường hợp (c) xảy ra thì điểm (a, b) gọi là điểm yên ngựa Định lý không đề cập đến trường hợp D = 0. Nếu D = 0 thì (a, b) có thể là cực đại, có thể là cực tiểu, cũng có thể là điểm yên ngựa Công thức D có thể viết dưới dạng định thức: fxx fxy D = = fxx fyy − (fxy )2 fyx fyy Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 9 / 16 Ví dụ: Tìm các điểm cực trị của hàm số f (x, y ) 1. f (x, y ) = 9 − 2x + 4y − x 2 − 4y 2 2. f (x, y ) = x 3 y + 12x 2 − 8y 3. f (x, y ) = −9y 4 + 6xy 2 − x 2 − 4y 2 + 4y + 1 4. f (x, y ) = (1 + xy )(x + y ) 1 1 5. f (x, y ) = xy + + ...