Bài giảng Toán T1: Chương 9 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Bài giảng Toán T1 - Chương 9 cung cấp các kiên thức về tích phân đường và tích phân mặt. Các nội dung cụ thể trong chương này gồm có: Tham số hóa đường cong, tích phân đường loại 1, tích phân đường loại 2, tích phân đường trong không gian, định lý Green,...và nhiều nội dung liên quan khác.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán T1: Chương 9 - ThS. Huỳnh Văn Kha Chương 9 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN MẶT Huỳnh Văn Kha ĐH Tôn Đức Thắng Toán T1 - MS: C01016Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 1 / 35 Nội dung 1 Tích phân đường Tham số hóa đường cong Tích phân đường loại 1 Tích phân đường loại 2 Tích phân đường trong không gian Định lý Green Tích phân đường không phụ thuộc đường đi 2 Tích phân mặt Mặt tham số Diện tích mặt cong Tích phân mặt Tích phân mặt của trường vector - Định lý GaussHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 1 / 35 Phương trình tham số đường cong Giả sử x, y là các hàm theo biến t: x = f (t), y = g (t) Mỗi giá trị của t xác đinh duy nhất một điểm (x, y ) = (f (t), g (t)). Khi t thay đổi điểm (x, y ) thay đổi theo và tạo thành một đường cong C Hệ hai phương trình x = f (t), y = g (t) gọi là phương trình tham số của CHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 2 / 35 x = t 2 − 2t y =t +1 x = t 2 − 2t y =t +1 t ∈ [0, 4] Với đường cong C : x = f (t), y = g (t), t ∈ [a, b] Điểm f (a), g (a) gọi là điểm đầu, điểm f (b), g (b) gọi là điểm cuốiHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 3 / 35 Tích phân đường loại 1 Tổng Riemann: Xn f (xi∗ , yi∗ ) ∆si i=1 Định nghĩa tích phân đường loại 1 được làm tương tự như các loại tích phân khácHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 4 / 35 Định lý Nếu f liên tục, C trơn, nghĩa là x = x(t) và y = y (t) là các hàm khả vi liên tục, thì tích phân đường loại 1 của f trên C là: s Z Z b 2 2 dx dy f (x, y )ds = f x(t), y (t) + dt C a dt dt Z Ví dụ: Tính (2 + x 2 y )ds, C với C là nửa trên trục Ox của đường tròn đơn vị x2 + y2 = 1Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 5 / 35 Chú ý 1. Một đường cong có nhiều cách tham số, sử dụng cách tham số nào cũng đều cho kết quả như nhau 2. Tích phân đường loại 1 còn được gọi là tích phân theo độ s dài 2 2 dx dy 3. ds = + dt dt dt 4. Nếu C = C1 ∪ · · · ∪ Cn thì: Z Z Z f (x, y )ds = f (x, y )ds + · · · + f (x, y )ds C C1 CnHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 6 / 35 Ví dụ Z Tính 2xds, với C là đường bao gồm: đường cong C1 C là parabol y = x 2 chạy từ (0, 0) đến (1, 1) và đường cong C2 là đoạn thẳng nối từ (1, 1) đến (1, 2)Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 7 / 35 Tính tích phân đường loại 2 Trong tích phân đường loại 1, nếu thay ∆si bằng các ∆xi hay ∆yi thì ta được các tích phân đường loại 2. Nếu C là đường cong trơn có phương trình tham số x = x(t), y = y (t), t ∈ [a, b] và f (x, y ) liên tục, thì: Z Z b f x(t), y (t) x 0 (t)dt f (x, y )dx = C a Z Z b ...