Bài giảng Toán tài chính - Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng

Bài giảng "Toán tài chính - Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng" cung cấp cho người học các kiến thức: Hệ số góc của đường cong và đạo hàm, ứng dụng của đạo hàm, hàm cận biên, hàm bình quân, tối ưu hàm một biến, các điểm cực trị,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán tài chính - Chương 2: Đạo hàm và ứng dụngĐẠO HÀM VÀ CHƯƠNG ỨNG DỤNG 2CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG2.1 Hệ số góc của đường cong và đạo hàm2.2 Ứng dụng của đạo hàm, hàm cận biên, hàm bình quân2.3 Tối ưu hàm một biến, các điểm cực trị2.4 Ứng dụng kinh tế2.5 Độ cong và ứng dụng2.6 Hệ số co dãnHỆ SỐ GÓC ĐƯỜNG THẲNGPhương trình tổng quát: Ax  By  CDạng đặc biệt: y  ax  bVới a, b là??? Gọi a là hệ số góc của đường thẳng D y y2  y1 a   tan  x x2  x1NHẬN XÉT• Ý nghĩa của hệ số góc: khi x thay đổi một đơn vị thì y thay đổi a đơn vị.• Đường thẳng D như thế nào nếu:• a>0• aHỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG CONGTiếp tuyến và cát tuyến của đường trònNếu điểm Q trong hình trên di chuyển càng gần điểm Pthì góc tạo bởi đường thẳng PQ và tiếp tuyến tại điểm Pcàng nhỏ.HỆ SỐ GÓC ĐƯỜNG CONGHệ số góc cát tuyến y2  y1 f  a  h   f  a k  x2  x1 aha f a  h  f ak hVÍ DỤ 1Cho hàm số y=x2a) Tìm hệ số góc của cát tuyến với a=1 và h=2 và 1. Vẽ đồthị f(x) và hai cát tuyến trên.b) Tìm và biểu diễn hệ số góc của cát tuyến với a=1 và hkhác 0 bất kỳ.c) Tìm giới hạn của biểu thức trong câu b và giải thích ýnghĩa.HỆ SỐ GÓC ĐƯỜNG CONG Đồ thị hàm số và 2 cát tuyến Đồ thị hàm số và tiếp tuyến tại x=1HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG CONGĐịnh nghĩa. Cho hàm số y=f(x), hệ số góc của đồ thị hàmsố tại điểm (a, f(a)) được xác định bởi: f a  h  f a  lim h 0 h(nếu giới hạn này tồn tại)Khi đó, đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số chỉnh làđường thẳng đi qua điểm (a, f(a)) với hệ số góc cho bởicông thức trên.ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂMĐịnh nghĩa: Cho hàm số y=f(x), đạo hàm của hàm sốtại x định nghĩa như sau: f (x + h )- f (x ) f (x ) = lim h® 0 h (nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn).Nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a,b) thìta nói hàm số khả vi trên (a,b)Nếu giới hạn không tồn tại thì hàm số không có đạohàm hay không khả vi. VÍ DỤ 2 Tìm đạo hàm của hàm: f (x ) = x - 8 x + 9 2tại x=2 theo định nghĩa.Ta xét giới hạn sau: f (2 + h )- f (2 ) lim h® 0 h 2 lim (2 + h ) - 8 (2 + h )+ 9 + 3 = lim h 2 - 4h = - 4 h® 0 h h® 0 hVậy: f (2 ) = - 4VÍ DỤ 3.Tổng doanh thu của một công ty (đơn vị triệu $) trong ttháng được cho bởi công thức sau: S t   t  2a) Cho biết ý nghĩa của S(25) và S’(25)b) Sử dụng kết quả câu a để ước lượng tổng doanh thusau 26 tháng; sau 27 tháng.VÍ DỤ 4.Một hãng sản xuất vải với chiều rộng mỗi cây vải là cốđịnh. Chi phí sản xuất x (mét) vải là: C  f x $ A) Cho biết ý nghĩa và đơn vị của f’(x)B) Trong thực tế, khi nói f’(1000)=9 ta biết điều gì?VÍ DỤ 5.Gọi D(t) là nợ quốc gia của Mỹ tại thời điểm t. Bảng dướiđây cho ta con số xấp xỉ giá trị của hàm này vào cuối mỗinăm theo đơn vị triệu $ kể từ năm 1980 đến năm 2000.Giải thích và ước lượng giá trị của D’(1990) T 1980 1985 1990 1995 2000 D(t) 930,2 1945,9 3233,3 4974,0 5674,2 ĐẠO HÀM PHẢI – TRÁIĐạo hàm trái của f(x) tại a là: f (x )- f (a ) f (a + h )- f (a ) ( )= f a - lim- x® a x- a = lim- h® 0 hĐạo hàm phải của f(x) tại a là: f (x )- f (a ) f (a + h )- f (a ) ( )=f a + lim+ x® a x- a = lim+ h® 0 h ĐỊNH LÝĐịnh lý: Hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm a khi và chỉkhi nó có đạo hàm trái; đạo hàm phải tại a và hai đạohàm này bằng nhau. ( )= f (a ) = L Û f a - ( )= f a + LĐịnh lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì hàm sốliên tục tại a. Chiều ngược lại có thể không đúng. f (a ) = L Û lim f (x ) = f (a ) x® a VÍ DỤ 6Cho hàm số: ìï e 1/ x f (x ) = ïí ,x ¹ 0 Tìm ( ) ( ) f 0- ; f 0+ ïï 0 ,x = 0 ïîTa có: f (0 + h )- f (0 ) e 1/ h - 0 - u ( ) f 0 - = lim- h® 0 h = lim- h® 0 h = lim u ® + ¥ e u = 0 f (0 + h )- f (0 ) e 1/ h - 0 ( ) f 0+ = lim+ h® 0 h = lim+ h® 0 h = +¥Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại 0. HÀM SỐ ĐẠO HÀMVới a cố định ta có: f (a + h )- f (a ) f (a ) = lim h® 0 hThay a bằng x ta có: f (x + h )- f (x ) ...