Bài giảng: Ứng dụng đồ họa máy tính và phim hoạt hình

Gồm 3 phần : -ma trận của phản ạ đồng nhất, ma trận chuyển cơ. - Ma trận và phép biến đổi tuyến tín hợp. Ma trận của phép biến đổ tuyến tính nghịch đảo. -Mối quan hệ của cùng 1 ma trận từ phép biến đổi tuyến tính từ một không gian véc tơ vào chính nó.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng: Ứng dụng đồ họa máy tính và phim hoạt hình TR N AN H I   TU N 10 ng d ng: h a máy tính và Phim ho t hình M t hình trên m t ph ng có th lưu tr trong máy tính như m t t p các nh. Sau ó nh ng nh có th ánh d u và n i l i b ng các ư ng t o ra hình. N u có n nh, chúng ư c lưu tr trong m t ma tr n 2×n. T a x và y c a nh l n lư t ư c lưu tr trong hàng th nh t và trong hàng th hai. M i c p i m li n k ư c n i v i nhau b i m t ư ng th ng. Ch ng h n t o m t tam giác v i các nh (0, 0), (1, 1), (1, -1) ta lưu tr chúng như nh ng c t c a m t ma tr n 0 1 1 0 G=   0 1 − 1 0 B n sao l i c a nh (0, 0) ư c lưu tr trong c t cu i cùng c a G i m (1, -1) ư c n i vòng l i (0,0) (Xem hình (a)) (a) Tam giác xác nh b i T (b) Phép dãn 1.5 l n (c) Phép l y i x ng qua tr c Oy (d) Phép quay m t góc 600 Ta có th bi n i m t hình b ng cách thay i v trí c a các nh và sau ó v l i hình. N u phép bi n i là tuy n tính nó có th th c hi n như m t phép nhân ma tr n. Nhìn m t dãy nh ng hình v như th ta s có c m giác v s di ng trong phim ho t hình. B n phép bi n i hình h c ơn gi n mà ư c s d ng trong h a máy tính là: 1. Phép co dãn. M t phép bi n i tuy n tính có d ng T(v) = cv là m t phép dãn n u c>1 và là m t phép co n u 0< c 1 0  A=   0 −1 Tương t , n u Ty là phép bi n i tuy n tính mà l y i x ng m t vectơ qua tr c Oy, thì Ty ư c bi u di n b i ma tr n − 1 0  0 1   Hình (c) cho th y nh c a tam giác G sau khi l y i x ng qua tr c Oy. 3. Phép quay. Cho T là m t phép bi n i mà quay m t vectơ xung quanh g c t a m t góc θ theo hư ng ngư c chi u kim ng h . Ta ã th y trong Ví d 2 r ng T là m t phép bi n i tuy n tính và T(v) = Av, trong ó cos θ − sin θ  A=    sin θ cos θ  Hình (d) cho th y k t qu c a phép quay tam giác m t góc 600 theo hư ng ngư c chi u kim ng h . 4. Phép t nh ti n. M t phép t nh ti n theo vectơ a là m t phép bi n i có d ng T(v) = v + a N u a ≠ 0, thì T không ph i là phép bi n i tuy n tính và do ó T không bi u di n ư c b i m t ma tr n 2×2. Tuy nhiên, trong h a máy tính òi h i th hi n t t c nh ng phép bi n i b ng phép nhân v i ma tr n. Ngư i ta x lý v n này như sau: ng nh t m i vectơ (x1, x2) trong R2 3 v i m t vectơ (x1, x2, 1) trong R . Khi mu n ánh d u m t i m ư c bi u di n b i vectơ (x1, x2, 1) ta ch vi c b t a th ba và ánh d u c p s (x1, x2). B ng phép ng nh t này ta có th tìm ư c m t ma tr n bi u di n phép t nh ti n theo vectơ a trong R2. Ch ng h n, phép t nh ti n theo vectơ a = (6, 2) t ư c b ng phép nhân v i ma tr n 1 0 6   x1   x1 + 6  Ax = 0 1 2  x2  =  x2 + 2 .      0 0 1   1   1       Hình (A) th hi n m t hình ngư i ư c t o t m t ma tr n S c 3×81. Khi ta nhân ma tr n A v i S, h a c a AS là hình ư c t nh ti n, cho b i (B). . (A) h a c a ma tr n S (B) h a c a hình t nh ti n AS Ma tr n c a ánh x ng nh t và Phép chuy n cơ s Nh c l i, khi V là m t không gian vectơ, thì ánh x I xác nh b i I (v) = v i v i m i v∈V, ư c g i là ánh x ng nh t. Bây gi ta tìm hi u xem ma tr n c a I như th nào. Gi s không gian V có hai cơ s E = {v1, v2, ... , vn} và F = {w1, w2, ... , wm}. N u E là cơ s trong không gian ngu n, còn F là cơ s trong không gian ích, thì theo nh lý 7.2.1 I có ma tr n A theo các cơ s E và F v i c t th j là aj = [I (vj)]F = [vj]F j = 1, 2, ... , n Ví d 6 Cho hai cơ s c a R là E = {e1, e2} và F ={w1 = (3, 7), w2 = (2, 5)}. Tìm ma tr n c a I : 2 R2 → R2 a) theo các cơ s E và F. b) theo các cơ s F và E. Gi i a) (1, 0) = 5(3, 7) - 7(2, 5) và (0, 1) = -2(3, 7) + 3(2, 5), nên [e1]F = (5, -7), [e2]F = (-2, 3). Như v y ma tr n c a I là  5 − 2 − 7 3  .   b) w1 = 3(1, 0) + 7(0, 1) và w2 = 2(1, 0) + 5(0, 1), nên [w1]E = (3, 7) = w1, [w2]E = (2, 5) = w2. Như v y ma tr n c a I là  3 2 7 5 = [w1 w2]. ☺   Chú ý 1) N u Rn có hai cơ s E = {e1, e2, ... , en} (cơ s chính t c) và F = {w1, w2, ... , wm}. Do [wj]E = wj nên ma tr n c a ánh x ng nh t theo cơ s F và E là [w1 w2 ... wm] (xem Ví d 6b)). 2) N u E trùng F, thì do aj = [vj]F = ej nên ma tr n c a I theo cơ s E và F là ma tr n ơn v c n×n. Gi s không gian V có hai cơ s E và F. G i A là ma tr n c a ánh x ng nh t I : V → V theo các cơ s E và F. Cho vectơ v thu c V có t a theo cơ s E và F l n lư t là [v]E và [v]F. Theo nh lý 7.2.1 [v]F = A[v]E ây chính là công th c liên h t a c a cùng m t vectơ u theo hai cơ s E và F. Vì v y A còn ư ...