Bài giảng Vật lý đại cương và vật lý hiện đại: Chương 3 - PGS.TS. Lê Công Hảo

Bài giảng "Vật lý đại cương và vật lý hiện đại - Chương 3: Phương trình Schrodinger" cung cấp cho người học các kiến thức: Phương trình Schrodinger, hạt trong hố thế một chiều, rào thế - Hiệu ứng đường ngầm,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Vật lý đại cương và vật lý hiện đại: Chương 3 - PGS.TS. Lê Công HảoChương 3 PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER PGS.TS. Lê Công Hảo GIỚI THIỆU Năm 1926, nhà vật lý người Áo ErwinSchrödinger đã đưa ra một phương trình cho phépxác định được hàm sóng mô tả trạng thái của mộthệ lượng tử. Erwin Schrödinger (1887-1961) Phương trình này đóng một vai trò căn bản trong cơ họclượng tử, tương tự như phương trình Newton trong cơ học cổđiển. Khi giải phương trình Schrödinger, chúng ta có thể tìm đượchàm sóng  và từ đó ta có thể tính được xác suất để hệ có cáctọa độ, động lượng, v.v.. nào đó.3.1. PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER 3.1.1. Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian➢ Hạt có khối lượng m, di chuyển trong một trường lực➢ Ở mỗi thời điểm và ứng với mỗi vị trí hạt có một thế năng nào đó, U = U(x, y, z, t).➢ Phương trình Schrödinger cho phép ta tìm được hàm sóng khi biết hàm thế năng này.  2 ( x, y, z, t ) − ( x, y, z, t ) + U.( x, y, z, t ) = i 2m t i là số phức.  là toán tử Laplace.    2 2 2  = 2 + 2 + 2 x y z Trong hệ tọa độ Descartes,3.1.1. Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gianTrong trường hợp một chiều, khi hàm sóng chỉ phụ thuộc vào tọa độ xvà thời gian t 2   ( x, t ) 2 ( x, t ) − + U( x, t )( x, t ) = i 2m x 2 t Khi U(x, t) = 0, hạt chuyển động không chịu tác động của trường thếnào ta bảo hạt chuyển động tự do:  2  2 ( x, t ) ( x, t ) − = i3.1.2. Điều kiện của hàm sóng 2m x 2 to Hữu hạn, nếu không thì điều kiện chuẩn hóa không được thỏa mãn,o Đơn trị, vì ứng với mỗi trạng thái, tại một vị trí và tại một thời điểm chỉ có một xác suất tìm thấy hạt,o Đạo hàm bậc hai của  phải hữu hạn, muốn vậy thì  và đạo hàm bậc nhất của nó theo tọa độ phải liên tục.3.1.3. Phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian (trạngthái dừng)Thế năng U của hạt không phụ thuộc tường minh vào t, thì có thể viếtthế năng dưới dạng U = U(x, y, z). Tách (x, y, z, t) thành hai thành phần  iEt   ( x, y, z , t ) =  ( x, y, z ). exp −    Phương trình Schrödinger cho trạng thái dừng  2 − ( x, y, z) + U. ( x, y, z) = E( x, y, z) 2m Hạt chuyển động một chiều  d  d 2  2m + 2 E − U (x ) = 0 2 2 − + U(x )(x ) = E(x ) 2m dx 2 dx 2  3.2. HẠT TRONG HỐ THẾ MỘT CHIỀUBên ngoài U lớn nên hạt không thể nhảy ra→ hạt chỉ tồn tại bên trong d  ( x ) 2m 2 d 2 ( x ) 2mE + 2 E(x ) = 0 (x ) = 0 k = 2 2 + k 2 dx 2  dx 2  Nghiệm tổng quát  ( x ) = A. sin(kx) + B. cos(kx) 3.2. HẠT TRONG HỐ THẾ MỘT CHIỀU Điều kiện của hàm sóng1. Sin(x) vaø Cos(x) höõu haïn2. Lieân tuïc: ψ(0) = ψ(a) = 0 ψ(0) = A sin(k0) + B cos(k0) = 0  B = 0  ψ(x) = A sin(kx) ψ(a) = A sin(ka) = 0  sin(ka) = 0  k = πn/a, n = 1, 2, 3,…Hằng số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng a a  (x ) dx = 1 a a sin[2n] a 2  (n..x / a )dx = 1  (n..x / a )dx = − 2 2 2 A sin sin 0 0 0 2 4nHàm sóng trong giếng thế phụ t ...