Bài giảng Vi tích phân 1B: Chuỗi số

Bài giảng Vi tích phân 1B: Chuỗi số, cung cấp cho người học những kiến thức như dãy số; Khái niệm chuỗi số; Tính chất của chuỗi số; Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi số. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Vi tích phân 1B: Chuỗi sốChuỗi sốSố thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Chuỗi số Dãy số Khái niệm chuỗi số Tính chất của chuỗi số Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi số VI TÍCH PHÂN 1B 26/320Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi FourierDãy số Dãy số Dãy số là phép liên kết mỗi chỉ số tự nhiên n ≥ n0 với một số thực an (n0 là một số tự nhiên nào đó được cho trước). Dãy số nói trên thường được ký hiệu là (an )n≥n0 , hoặc viết tắt là (an ) nếu không có nhầm lẫn. Ghi chú. Miền giá trị của dãy số là tập hợp {an /n ∈ N, n ≥ n0 }. Ví dụ, nếu dãy số (an ) được định bởi ∀n ∈ N, an = (−1)n thì miền giá trị của dãy số là {−1; 1}. Ký hiệu dãy số kiểu cổ điển là {an }n≥n0 , dễ nhầm lẫn với ký hiệu miền giá trị dãy, do đó ta nên tránh dùng ký hiệu này. VI TÍCH PHÂN 1B 27/320Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi FourierDãy số Ta có thể biểu diễn dãy số (an ) dưới dạng đồ thị: đó là tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ có hoành độ là số tự nhiên n và tung n độ là an . Đồ thị sau minh họa cho dãy (an ) định bởi an = n+1 VI TÍCH PHÂN 1B 28/320Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi FourierDãy số Dãy số bị chặn Dãy số bị chặn trên là dãy số có miền giá trị là tập hợp bị chặn trên. Dãy số bị chặn dưới là dãy số có miền giá trị là tập hợp bị chặn dưới. Dãy số bị chặn (giới nội) là dãy số có miền giá trị là tập hợp vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Tổng, hiệu, tích, thương của hai dãy số Giả sử (an ) và (bn ) là hai dãy bất kỳ. Khi đó các dãy (an + bn ), (an − bn ), (an bn ), (an /b > n) (với bn = 0) được gọi là dãy tổng, hiệu, tích và thương của hai dãy ban đầu. VI TÍCH PHÂN 1B 29/320Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi FourierDãy số Dãy hội tụ và dãy phân kỳ Dãy số (an ) được gọi là có giới hạn, hay hội tụ, nghĩa là tồn tại số thực L thỏa điều sau ∀ε > 0, ∃p ∈ N, ∀n ≥ p, |an − L| < ε (1) Số L thỏa (1) được gọi là giới hạn của dãy (an ) và ta viết L = limn→∞ an (viết tắt lim an = L), hoặc an → L khi n → ∞ (đọc là “an tiến về L khi n càng lớn, hoặc là dãy (an ) hội tụ về L). Nếu dãy số (an ) không hội tụ thì ta nói dãy (an ) phân kỳ. Ghi chú. Một cách trực quan, (1) có nghĩa là ta có thể xấp xỉ L ≈ an với sai số nhỏ hơn số dương ε tùy ý, miễn là lấy n đủ lớn. VI TÍCH PHÂN 1B 30/320Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi FourierDãy số VI TÍCH PHÂN 1B 31/320Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi FourierDãy số Ví dụ khảo sát tính hội tụ n Với dãy (an ) định bởi ∀n ∈ N∗ , an = (−1) , thì lim an = 0. n Thật vậy, với ε > 0 bất kỳ, lấy p ∈ N đủ lớn để p > 1 . Khi đó, ε 1 nếu n ≥ p thì |an − 0| = < ε. n Sinh viên tự kiểm chứng rằng với an = (−1)n thì (an ) không hội tụ. VI TÍCH PHÂN 1B 32/320Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi FourierCác tính chất của dãy hội tụ Tính duy nhất Nếu (an ) hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất. Chứng minh. Sinh viên dựa theo kỹ thuật trong chứng minh của tính chất tiếp theo để tự chứng minh tính duy nhất, xem như là một bài tập. Tính bảo toàn thứ tự ...