Bài giảng Xấp xỉ hàm số bằng đa thức nội suy Lagrange

Bài giảng "Xấp xỉ hàm số bằng đa thức nội suy Lagrange" là tài liệu học tập dành cho các em sinh viên, giúp các em nắm được nội dung về xấp xỉ hàm số bằng đa thức nội suy Lagrange. Đây cũng là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho quý thầy cô giáo trong quá trình biên soạn và chuẩn bị bài giảng. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết tại đây.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Xấp xỉ hàm số bằng đa thức nội suy Lagrange XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE ĐA THỨC NỘI SUY - Cho bộ điểm xi , yi = f ( xi )i=0,n , xi  x j i  j, xi [a, b] - Đa thức bậc không quá n, Pn ( x ) đi qua bộ điểm trên được gọi là đa thức nội suy với các mốc nội suy  xi  i =0,n - Khi đó f ( x )  Pn ( x ) ĐA THỨC NỘI SUY ĐỊNH LÝ: Với bộ điểm  xi , yi i =0,n , xi  x j i  j cho trước, đa thức nội suy tồn tại và duy nhất. ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE • Đa thức Lagrange cơ bản Li ( x ) = ( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − xi −1 )( x − xi +1 ) ( x − xn ) . ( xi − x0 )( xi − x1 ) ( xi − xi−1 )( xi − xi+1 ) ( xi − xn ) 1 i = j ( ) Li x j = deg Li  n 0 i  j • Đa thức nội suy Lagrange n Pn ( x ) =  yi Li ( x ) i =0 Đánh giá sai số f ( x ) = Pn ( x ) + Rn ( x ) M n+1 Rn ( x )  w n+1 ( x ) ( n + 1)! n ( n+1) w n+1 ( x ) =  ( x − xi ) , M n+1 = sup | f ( x) | i =0 x[a ,b ] VÍ DỤ Xét hàm số y =3 x x -1 0 1 y 1/3 1 3 1. Hãy xác định đa thức nội suy Lagrange đi qua các điểm trên? Tính giá trị gần đúng của hàm số tại điểm x = 0.1 2. Hãy đánh giá sai số tại x = 0.1 x ( x − 1) 1 2 1 L0 ( x ) = = x − x ( −1 − 0 )( −1 − 1) 2 2 L1 ( x ) = ( x + 1)( x − 1) = − x2 + 1 ( 0 + 1)( 0 − 1) L2 ( x ) = ( x + 1) x 1 2 1 = x + x (1 + 1)(1 − 0 ) 2 2 1 2 2 4 P ( x ) = L0 ( x ) + L1 ( x ) + 3L2 ( x ) = x + x + 1 3 3 3  1  10 1 f   = 3  P   = 1.14  10   10  f (3) ( x) = 3x (ln(3))3 → M 3 = sup | f (3) (x) | 3.9779069 x[ −1,1] M3 | R(x) | | ( x + 1) x( x − 1) | 3! →| R(0.1) | 0.0656355 Ví dụ 1 • Xấp xỉ hàm f ( x ) = 25 x + 1 2 • Với 5 mốc nội suy Ví dụ • Với 10 và 17 mốc nội suy Sơ đồ Horner tính giá trị đa thức