BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM

Tham khảo tài liệu bài tập giải tích hàm, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM1.1.2 Cho A là một tập con của một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh A là một tập mởnếu và chỉ nếu mọi x trong A, có r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ A. Giải • Giả sử mọi x trong A, có rx > 0 sao cho B(x, rx ) ⊂ A. Ta chứng minh A= B(x, rx ). x∈A Cho z trong A, ta có z ∈ B(z, rz ). Vậy A⊂ B(x, rx ). x∈A Ch z trong x∈A B(x, rx ), Có x ∈ A sao cho z ∈ B(x, rx ). Vì B(x, rx ) ⊂ A, ta có z ∈ A. • Giả sử A là tập mở, ta chứng minh với mọi x trong A, có r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ A. Có một họ quả cầu mở {B(ai , ri )}i∈I trong E sao cho A= B(ai , ri ). i∈ICho x trong E, có i trong I sao cho x ∈ B(ai , ri ). Đặt r = ri − ||x − ai ||, ta có B(x, r) ⊂ B(ai , ri ) ⊂ B(ai , ri ) ⊂ A. i∈I1.1.4 Cho A là một tập con của một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh A là một tập đóngnếu và chỉ nếu mọi dãy {xn } trong A hội tụ về x trong E thì x ∈ A. Giải Giả sử A là một tập đóng. Cho dãy {xn } trong A hội tụ về x trong E ta chứng minh x ∈ A. Tadùng phản chứng: giả sử x ∈ E \ A. Ta có E \ A là một tập mở, nên có r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ E \ A,hay y ∈E\A ∀ y ∈ E, ||y − x|| < r. (1) Mặt khác với ε = r, ta tìm được một số nguyên N sao cho ||xn − x|| < ε ∀ n ≥ N. (2) 1 Từ đó ta có xN ∈ A ∩ (E \ A) : mâu thuẩn. Vậy x ∈ A. Nay giả sử mọi dãy {xn } trong A hội tụ vềx trong E thì x ∈ A. Ta chứng minh A đóng, hay E \ A là một tập mở. Ta dùng phản chứng: E \ Akhông là một tập mở. Lúc đó có một x trong E \ A, và với mọi số thực dương r có một yr sao cho||yr − x|| < r và yr ∈ A. Đặt xn = y1/n . Ta thấy {xn } trong A hội tụ về x trong E nhưng x ∈ E \ A: vô lý.1.3.10 Cho A là một tập con của một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh A là một tậpđóng nếu và chỉ nếu A = A. Giải Giả sử A là một tập đóng. Ta chứng minh A = A. • Chứng minh A ⊂ A: Cho x trong A, ta chứng minh x ∈ A, hay B(x, r) ∩ A = ∅. Vì x ∈ B(x, r) ∩ A, ta có kết quả • Chứng minh A ⊂ A: Cho x trong A, chứng minh x trong A. Với mọi r > 0 có yr ∈ A ∩ B(x, r). Đặt xn = y1/n với mọisố nguyên n. Ta có 1 ||xn − x|| < n ∀n∈I . N Từ đó {xn } hội tụ về x. áp dụng bài 1.1.4, ta thấy x ở trong A. Giả sử A = A . Ta chứng minh A là một tập đóng. Ta dùng bài 1.1.4. Cho dãy {xn } trong A hội tụ về x trong E ta chứng minh x ∈ A. Với giả thiếtA = A, ta chỉ cần chứng minh x ∈ A. Ta có : với mọi ε = r > 0 có một số nguyên N sao cho ||xn − x|| < ε ∀ n ≥ N.Vậy B(x, r) ∩ A = ∅ với mọi r > 0 : x ∈ A1.3.1 Cho a và b là hai vectơ trong một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh |||a|| − ||b||| ≤ ||a − b||. (1) Suy ra hàm số f liên tục trên (E, ||.||), nếu f (x) = ||x|| với mọi x trong E. Giải Ta thấy (1) tương đương với ||a|| − ||b|| ≤ ||a − b||, ||b|| − ||a|| ≤ ||a − b||. 2hay ||a|| ≤ ||a − b|| + ||b||, ||b|| ≤ ||a − b|| + ||a||.hay ||(a − b) + b|| ≤ ||a − b|| + ||b||, ||(b − a) + a|| ≤ ||a − b|| + ||a||. Vậy ta có (1). Từ (1) ta có |f (y) − f (x)| ≤ ||y − x|| ∀ x, y ∈ E. ε Vậy với mọi ε > 0, chọn δ = ta có 2 |f (y) − f (x)| < ε ∀ x, y ∈ E, ||x − y|| < δ. Vậy f liên tục trên E.1.3.2 Cho A là một tập hợp bị chặn trong một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh có mộtsố thực dương r sao cho A ⊂ B(0, r). Giải Có số thực M sao cho ||x|| ≤ M ∀ x ∈ A. Đặt r = M + 1, ta có ||x − 0|| = ||x|| < r ∀ x ∈ A. Vậy x ∈ B(0, r), từ đó A ⊂ B(0, r).1.3.11 Cho A là một tập hợp compắc trong một không gian định chuẩn (E, ||||). Chứng minh (i) A đóng. (ii) A bị chặn. Giải Cho một dãy {yn } trong A, ta có một dãy con {ynk } của {yn }, sao cho {ynk } hội tụ về y trong A.Áp dụng bài 1.1.4, ta thấy A là một tập đóng trong E.Nay ta chứng minh A bị chặn. Ta dùng phản chứng : giải sử A không bị chặn. Dùng qui nạp toán họcta tìm được một dãy {xn } có tính chất 1 + ||x1 || + · · · + ||xn || < ||xn+1 ...