Bài tập ôn tập hàm biến phức

Tài liệu Bài tập hàm biến phức bao gồm các bài toán về hàm biến phức và phép tính toán tử dãy số phức và chuỗi số phức, hàm phức, lý thuyết thặng dư. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập ôn tập hàm biến phứcBÀI TẬP HÀM BIẾN PHỨC Ngày 12 tháng 1 năm 20222Mục lụcLời nói đầu 31 Số phức, dãy số phức và chuỗi số phức 72 Hàm phức 233 Lý thuyết thặng dư 474 85Tài liệu tham khảo chính 97 34Lời nói đầu Tác giả 56Chương 1Số phức, dãy số phứcvà chuỗi số phứcBài 1.1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác, dạng mũ: √ √ (1 + i 3)3 √ a) −1−i; b) 1+i 3; c) ; d) ( 3+i)4 (1−i). −1 − iLời giải. √ 3πa) Ta có | − 1 − i| = 2, arg(−1 − i) = − . Do đó 4 √ 3π 3π √ −i 3π−1 − i = 2(cos(− ) +i sin(− )) = 2.e 4 4 4 √ √ πb) Ta có |1 + i 3| = 2, arg(1 + i 3) = . Do đó √ 3 π π iπ1 + i 3 = 2(cos + i sin ) = 2.e 3 3 3 7 √ √ (1 + i 3)3 |1 + i 3|3 8 √c) Ta có = = √ = 4 2 và −1 − i | − 1 − i| 2 √ 3 (1 + i 3) √ π 3π 7πarg = 3 arg(1 + i 3) − arg(−1 − i) = 3 + = . −1 − i 3 4 4Do đó√(1 + i 3)3 √ 7π 7π √ 7π = 4 2 (cos + i sin ) = 4 2.ei 4 −1 − i 4 4 √ 4 4 √ √d) Ta có |( 3 + i) (1 − i)| = 2 2 = 16 2, và √ √ π π 5πarg(( 3 + i)4 (1 − i)) = 4 arg( 3 + i) + arg(1 − i) = 4 − = . 6 4 12 √ √ 5π 5π √ i 5πVậy ( 3 + i)4 (1 − i) = 16 2.(cos +i sin ) = 16 2.e 12 2 12 12 1−i √Bài 1.2. Rút gọn: a) z = ; b) z = (1 + 1 3)3 . 1+i 1−i (1 − i)2 −2iLời giải. a) z = = = = −i. 1+i 2 2 √ π πb) 1 + 1 3 = 2(cos − i sin ) √ 3 3z = (1 + 1 3)3 = 8(cos π + i sin π) = −8. 2Bài 1.3. Chứng minh rằng 1 z1 z2 |z1 + z2 | ≥ (|z1 | + |z2 |) + 2 |z1 | |z2 |Lời giải. Đặt z1 = r1 (cos α + i sin α), z2 = r2 (cos β + i sin β). Khi đó 2 2VT = (r1 cos α + r2 cos β)2 + (r1 sin α + r2 sin α)2 = r1 + r2 + 2r1 r2 cos(α − β).8 1 1V P = (r1 +r2 ) (cos α + cos β)2 + (sin α + sin β)2 = (r1 +r2 ) 2 + 2 cos(α − β). 2 2Từ đó bình phương hai vế dễ dàng suy ra bất đẳng thức đúng. 2Bài 1.4. Chứng minh |1 − z1 .z2 |2 − |z1 − z2 |2 = (1 − |z1 |2 )(1 − |z2 |2 )Lời giải. ¯ Chú ý rằng |Z|2 = Z.Z. Ta có|1 − z1 .z2 |2 − |z1 − z2 |2 = (1 − z 1 .z2 )(1 − z 1 .z2 ) − (z1 − z2 )(z1 − z2 ) = (1 − z 1 .z2 )(1 − z1 .z 2 ) − (z1 − z2 )(z 1 − z 2 ) = 1 − z1 z 2 − z 1 z2 + z1 z 1 z2 z 2 − z1 z 1 + z1 z 2 + z2 z 1 − z2 z 2 = 1 + |z1 |2 |z2 |2 − |z1 |2 − |z2 |2 = (1 − |z1 |2 )(1 − |z2 |2 ). 2Bài 1.5. Chứng minh |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2(|z1 |2 + |z2 |2 ).Lời giải. Ta có |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) + (z1 − z2 )(z1 − z2 ) 9 = (z1 + z2 )(z 1 + z 2 ) + (z1 − z2 )(z 1 − z 2 ) = z1 z 1 + z1 z 2 + z2 z 1 + z2 z 2 + z1 z 1 − z1 z 2 − z2 z 1 + z2 z 2 = 2(|z1 |2 + |z2 |2 ) 2Bài 1.6. Tìm căn các số phức sau: √ √ √ a) 3 1; b) 4 1; c) 3 −2 + 2i.Lời giải. √a) 1 = 1.e0i nên 3 1 = e(2kπi)/3 (k = 0, 1, 2) hay √ √ √ 3 −1 3 −1 3 ...