Giáo trình Hàm biến phức: Phần 2

Phần 2 giáo trình "Hàm biến phức" trình bày một số vấn đề chọn lựa từ hàm chỉnh hình, hàm nhiều biến phức. Nội dung của cuốn sách không chỉ cho các sinh viên năm thứ hai, thứ ba của khoa Toán các trường Đại học Sư phạm và Đại học Khoa học Tự nhiên mà còn là tài liệu thiết thực đối với các học viên cao học chuyên ngành Lý thuyết hàm. Các nghiên cứu sinh chuyên ngành Lý thuyết hàm có thể tìm thấy ở đây những kiến thức cần thiết cho sự học tập và nghiên cứu của mình.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Hàm biến phức: Phần 2 Phan // MỘT S Ố V Ấ N Đ Ề CHỌN LỰA TỪ HÀM CHỈNH HÌNH Phần li và phần IU nằm ngoài phạm vi chương trình giảng dạy hàm biên phức cho sinh viên năm thứ 2 khoa Toán các trường Đại học Sư phạm. Các vấn đề được lựa chọn ỏ phân li đều là những kết quả rất sâu sắc, rất bản chất của hàm một biến phức. Bài ỉ ĐỊNH LÝ MONTEL (NGUYÊN LÝ COMPACT) 1.1. Một s ố định nghĩa Già sử D là một miền trong c và H(D) không gian vectơ các hàm chỉnh hình trên nó, Định nghĩa ỉ. H ọ h à m F c H(D) được gọi là bị chận đểu t r ê n các t ậ p compact nếu sup{|f(z)| :z G K. í e F} < 00 với m ọ i compact K e ! ) Định nghĩa 2. H ọ hàm F c H(D) được gọi là đống liên tục trên các tập compact nếu v ớ i mọi tập compact K c D và với mọi £ > 0 tổn tại ỗ = (K,£) > 0 sao cho 185 |f(z) - f(z')| < t với mọi z, z £ K mà |z - z'l < Ỗ. 1.2. Một sô bổ đê Bổ đe 1. Mọi họ F c H(D) bị chặn đều trên các tập compact là đ ổ n g liên tục trên các tập compact. Chứng minh. Già sử K là compact tuy ý trong D và Ì d = — d(K,('iD) > 0. Tập hợp các đ i ể m của D mà khoảng cách từ chúng tới K không vượt quá 2d được ký hiệu là B. Hiển nhiên B là tập compact. Theo g i ả t h i ế t ta tìm được M > 0 đế sup{|f(z)| : f 6 F, z E B} sỉ M Ta sẽ chứng minh r ng với m ọ i z > 0, với m ọ i cặp điểm d í Ì Z ] , Z-, £ K m à | Z [ — z 1 2 < ỗ, ỏ = min J d, ^7 | £ bất đảng thức sau được thực h i ệ n |f(zj) - f(z )|2 < £ với m ọ i f s F. Thật vậy theo c ô n g thức tích p h â n Cauchy á p d ụ n g cho mọi f e F trong hình tròn D(z f . 2d) c B ta có f(z) = ủ .. í Do đó |f(z,) - f(z,)| = Ì M | z j -z \2ĩc.2d 2 M I M á Z * ủ 2^d = d I ' -2 ...