Giáo trình Phương pháp toán lí: Phần 2 - Đinh Xuân Khoa & Nguyễn Huy Bằng

Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Phương pháp toán lí: Phần 2 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Hàm biến phức; Biến đổi tích phân; Phương pháp số và mô hình hóa số liệu. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Phương pháp toán lí: Phần 2 - Đinh Xuân Khoa & Nguyễn Huy Bằng Chương 4 HÀM BIẾN PHỨC 4.1. Số phức 4.1.1. Số phức Như chúng ta đã biết, phương trình bậc hai x2+1 = 0 sẽ vô nghiệm theo cách hiểu thông thường trong trường số thực. Tuy nhiên, chúng ta có thể mở rộng sang trường số phức để phương trình trên vẫn tồn tại nghiệm. Trong trường số phức, người ta định nghĩa đơn vị ảo (ký hiệu là i) thỏa mãn điều kiện [8]: i2  1, (4.1) với khái niệm đơn vị ảo i, người ta định nghĩa số phức z dưới dạng đại số như sau: z= x + iy, (4.2) trong đó x và y là các số thực biểu diễn tương ứng với phần thực và phần ảo của số phức z. Vì vậy, ta có thể xem số thực là trường hợp đặc biệt của số phức khi phần ảo bằng không. Người ta định nghĩa liên hợp phức của z hay là số phức liên hợp (ký hiệu là z*) được xác định bởi z* = x – iy. (4.3) Dựa vào định nghĩa liên hợp phức ta gọi độ lớn (đôi khi gọi là biên độ hoặc là module) của số phức z, ký hiệu là ‫׀‬z‫ ׀‬được xác định bởi: z  x 2  y 2  zz* . (4.4) Hai số phức z1 = x1 + iy1 và z2 = x2 + iy2 được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi x1 = x2 và y1= y2. 4.1.2. Các phép toán cơ bản trên số phức Cho hai số phức z1 = x1 + iy1 và z2 = x2 + iy2, giữa hai số phức này có các phép toán cơ bản dưới đây: a) Phép cộng: z1 + z2= (x1 + x2)+ i(y1 + y2) (4.5) - 137 - b) Phép trừ: z1 - z2= (x1 - x2)+ i(y1 - y2) (4.6) c) Phép nhân: z1z2= (x1x2 - y1y2)+ i(x1y2 – x2y1) (4.7) z1 x1  iy1 x1x2  y1 y2 x y x y d) Phép chia:    i 2 21 12 2 . (4.8) z2 x2  iy2 x2  y2 2 2 x2  y2 4.1.3. Dạng lượng giác của số phức và định lí De Moivre Ngoài dạng đại số thì số phức còn có thể được biểu diễn dưới dạng hình học và dạng lượng giác. Ta có thể xem cặp số thực (x, y) như là một số phức với phần thực và phần ảo tương ứng là x và y. Khi đó, ta có thể biểu diễn số phức theo dạng hình học trong mặt phẳng xy (còn gọi là mặt phẳng phức) như trên hình 4.1. Hình 4.1. Biểu diễn hình học của số phức trong mặt phẳng phức. Khi đó, nhờ tính chất lượng giác ta có thể biểu diễn số phức z dưới dạng lượng giác: z  x  iy  (cos+isin) , (4.4) với  x2  y2 (4.5) được gọi là biên độ, còn  được gọi là argument. Như vậy, bên cạnh dạng đại số ta còn có thể biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác - 138 - như (4.4) và (4.5). Cách biểu diễn lượng giác có một số thuận tiện khi tính toán nhờ sử dụng các tính chất quan trọng sau: z1z2  12 [cos(1  2 )+isin(1  2 )] , (4.6) z12 1  [cos(1  2 )+isin(1  2 )] , (4.7) z2  2 z n  n [cos(n)+isin(n)] , (4.8) 1 1    2k    2k   z n   n cos( )+isin( )  , k = 0, 1, 2, …, n -1 (4.9)  n n  ei  cos  isin . (4.10) Công thức (4.10) được gọi là công thức Euler. 4.2. Hàm biến phức 4.2.1. Khái niệm Cho tập các số phức z và giả sử ứng với mỗi z sẽ có tương ứng một hoặc nhiều giá trị của số phức w. Khi đó,w được gọi là hàm của biến số phức z, ký hiệu là w = f(z). Một hàm biến phức được gọi là đơn trị nếu mỗi giá trị của z tương ứng với một giá trị của w. Nói chung, chúng ta có thể viết: w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y), trong đó u và v là các hàm thực của x và y. Ví dụ 4.1. Cho w = z2 = (x + iy)2 = x2 – y2 +2ixy = u + iv; khi đó u(x, y) = x2 – y2 và v(x,y) = 2xy tương ứng là phần thực và phần ảo của w. Ví dụ 4.2. Vì e2ki = 1, nên dạng lượng giác của z là z   ei (  2 k ) dạng này thực chất là các hàm logarit và hàm mũ được suy ngược với định nghĩa sau đây của lnz là: lnz = ln + ( + 2k)i, với k = 0, 1, 2…n. Mỗi giá trị của k xác định một hàm đơn trị từ một hệ các hàm đa trị này, đây là các nhánh mà từ đó (trong phạm vi của các biến phức) một hàm đơn trị có thể được xây dựng. - 139 - 1 Ví dụ 4.3. Biểu diễn hàm w  thành dạng u(x,y) + iv(x,y), 1 z trong đó u và v là các hàm thực. Ta có: 1 1 1 1  x  iy 1  x  iy w   .  1  z 1   x  iy  1  x  iy 1  x  iy 1  x 2  y 2 Do đó 1 x y u ( x, y )  , v ( x, y )  . 1  x  y 1  x   y2 2 2 2 Chúng ta định nghĩa các hàm biến phức cơ bản bằng cách sử dụng khai triển các hàm biến thực tương ứng, rồi thay biến thực x bởi biến phức z. Ví dụ 4.4. Chúng ta định nghĩa: z 2 z3 ez  1  z    ... , 2! 3! ...