Tính chập suy rộng của các phép biến đổi tích phân Fourier consine và kontorovich-lebedev với hàm trọng - ThS. Trịnh Tuân

Xây dựng tính chập suy rộng của các phép biến đổi tích phân Fourier consine và kontorovich-lebedev từ đó tìm hiểu các tính chất của nó, ứng dụng tính chập này vào giải hệ phương trình tích phân. Nhằm giúp các bạn hiểu hơn về vấn đề này, mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài viết "Tính chập suy rộng của các phép biến đổi tích phân Fourier consine và kontorovich-lebedev với hàm trọng" dưới đây.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tính chập suy rộng của các phép biến đổi tích phân Fourier consine và kontorovich-lebedev với hàm trọng - ThS. Trịnh TuânTÝnh chËp suy réng cña c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Fourier consine vµ kontorovich – lebedev víi hµm träng Ths. TrÞnh Tu©n Bé m«n gi¶i tÝch- Trêng §¹i häc Thuû lîiTãm t¾t: X©y dùng tÝnh chËp suy réng cña c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Fourier consine vµkontorovich – lebedev tõ ®ã t×m hiÓu c¸c tÝnh chÊt cña nã. øng dông tÝch chËp nµy vµo gi¶i hÖph¬ng tr×nh tÝch ph©n. 1. §Æt vÊn ®Ò Vµo ®Çu thÕ kû 19 ngêi ta ®· x©y dùng ®îc tÝch chËp cña c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©nFourier vµ råi tiÕp ®Õn tÝch chËp cña c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n lÇn lît ®îc x©y dùng ®ã lµphÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Lapace, Mellin Hilber [12], Hankel [4, 13] vµ Stieltfes [11]. Ch¼ng h¹n tÝch chËp cña phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Fourier [12]. +1 Z 1 (f ¤ g)(x) = p f (x ¡ y)g(y)dy; x > 0; (1) F 2¼ ¡ 1 Tho¶ m·n ®¼ng thøc nh©n tö ho¸: F (f ¤ g)(y) = (F f )(y)(F g)(y); 8y 2 R: FVíi F lµ phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Fourier [1]. N¨m 1941 Churchill R.V x©y dùng ®îc tÝch chËp ®èi víi phÐp biÕn ®æi tÝch ph©nFourier cosine [3]. +1 Z 1 £ ¤ (f ¤ g)(x) = p f (u) g(x + u) + g(jx ¡ uj) du; x > 0; (2) Fc 2¼ 0 Tho¶ m·n ®¼ng thøc nh©n tù ho¸ F c (f ¤ g)(y) = (F c f )(y)(F c g)(y); 8y > 0: FcVíi Fc lµ phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Fourier cosine [1]. Vµo nh÷ng n¨m 1967, 1987 tÝch chËp cña phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Kontorovich – lebedev®èi víi hai hµm f, g ®· ®îc Karichev V.A vµ Yakubovich S.B x©y dùng [4, 14]. +1 Z Z +1 1 h 1 ³ xu xv uv ´ i (f ¤ g)(x) := exp ¡ + + f (u)g(v)dudv; x > 0 (3) 2¼ 2 v u x 0 0tho¶ m·n ®¼ng thøc nh©n tù ho¸ K (f ¤ g)(y) = (K f )(y)(K g)(y); 8y > 0:Víi K lµ phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Kontorovich – lebedev [1]. Nh÷ng n¨m 90 Yakubovich S.B ®· x©y dùng ®îc mét sè tÝch chËp suy réng theo chØ sècña c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Mellin [15], Kontorovich – Lebedev [16], G phÐp biÕn ®æi [9]vµ H phÐp biÕn ®æi [17]. N¨m 1998 Kakichev V.A vµ NguyÔn Xu©n Th¶o ®· c«ng bè ®îc ph¬ng ph¸p kiÕnthiÕt tÝch chËp suy réng cña ba phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n bÊt kú víi hµm träng [5] vµ ®· cãnh÷ng vÝ dô cô thÓ nhê ph¬ng ph¸p nµy [6, 7, 8]. 1 Trong bµi b¸o nµy nhê [5] t¸c gi¶ x©y dùng tÝch chËp suy réng cña hai phÐp biÕn ®æi tÝchph©n Fourier consine vµ Kontorovich – lebedev víi hµm träng tõ ®ã t×m hiÓu c¸c tÝch chËp cñanã. §Æc biÖt øng dông tÝch chËp nµy vµo gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh tÝch ph©n. 2. Néi dung§Þnh nghÜa: TÝch chËp suy réng cña c¸c hµm f, g víi hµm träng ° (y) = 1 ®èi víi c¸c ysh(¼y)phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Fourier cosine vµ Kontorovich – Lebedev: ebedev t ransforms +1 Z Z +1 ° 1 1£ ¡ ¤ (f ¤ g)(x) = 2 e u ch ( x + v) + e¡ u ch ( x ¡ v ) f (u)g(v)dudv; x > 0 (4) ¼ u 0 0 à ! à ! 1 1 °§Þnh lý 1. Gi¶ sö f 2L ; R+ ; g2 L ; R+ , th× tÝch chËp (f ¤g)(x) 2 L ( R+ ) vµ tho¶ m·n x shx®¼ng thøc nh©n ...