Bài tập thể hiện phương pháp quy nạp, diễn dịch

Hãy tìm trong sách giáo khoa và sách bài tập toán ở THCS vàTHPT những ví dụ bài tập thể hiện được các phương pháp quy nạp,diễn dịch ,suy diễn ,phản chứng...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập thể hiện phương pháp quy nạp, diễn dịch Bài tập lớn chương 1 Hãy tìm trong sách giáo khoa và sách bài tập toán ở THCS vàTHPT những ví dụ bài tập thể hiện được các phương pháp quy nạp,diễn dịch ,suy diễn ,phản chứng ,phân tích ,tổng hợp ,tổng quát hóa,đặc biệt hóa ,tương tự hóa ,trừu tượng hóa ,cụ thể hóa,.hãy chọn mộtsố bài điển hình để trinh bày theo các giai doạn của việc tìm tòi lời giải( phân tích ,lời giải ,khai thác…. ) Bài tập thể hiện phương pháp quy nạp, diễn dịch Bài 1: CMR với n ∈ N* ta có đẳng thức: n(3n + 1) 2 + 5 + 8 + …+ 3(n - 1) = (*) 2 1, Phân tích Đẳng thức trên liên quan đến tập số tự nhiên nên ta có thể sửdụng phương pháp quy nạp toán học. Từ đó ta có lời giải sau 2, Lời giải Thật vậy với n = 1, ta có: 1(3.1 + 1) 2= luôn đúng. 2 Giả sử mệnh đề đã cho đúng với n = k, tức là k(3k + 1) (giả thiết quy nạp) 2 + 5 + 8 + … + (3k - 1) = 2 Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, nghĩa là (k + 1) [ 3.(k + 1) + 1] 2 + 5 + 8 + … + (3k – 1) + [3(k + 1) - 1] = 2 Ta thấy: (k + 1) 3.(k + 1) + 1   2 + 5 + 8 + … + (3k – 1) + [3(k + 1) - 1] = 2 (k + 1)(3k + 4)  2 + 5 + 8 + … + (3k – 1) + 3(k + 2) = .(**) 2 Theo giả thiết quy nạp ta có: k(3k + 1) (k + 1)(3k + 4) (**)  + 3(k + 2) = 2 2 2 2 3k + k + 6k + 4 3k + 4k + 3k + 4 =  2 2 2 2 3k + 7k + 4 3k + 7k + 4 = (luôn đúng).  2 2 Vậy với mọi n ∈ N* ta luôn có : n(3n + 1) 2 + 5 + 8 + …+ 3(n - 1) = 2 3, Khai thác bài toán 10, CMR với n ∈ N* ta có đẳng thức: 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n2 20, CMR với n ∈ N* ta có đẳng thức: 1 n+1 3 + 9 + 27 + … + 3n = (3 - 3) 2 Bài 2: CMR với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ta có bất đẳng thức 3n ≥ 3k + 1 1, Phân tích Vì bài toán trên liên quan đến tập số tự nhiên N nên để chứngminh bài này ta nên sử dụng phương pháp quy nạp 2, Lời giải Xét n = 2 ta có : 32 = 9 > 7 (luôn đúng) Giả sử bài toán trên đúng với n = k ≥ 2 Tức là ta có 3k > 3k + 1 (giả thiết quy nạp) Ta phải chứng minh bài toán trên cũng đúng với n = k + 1, tức làphải chứng minh : 3k + 1 > 3(k + 1) + 1 hay 3k + 1 > 4k + 1 Thật vậy , theo giả thiết quy nạp 3k > 3k + 1  3.3k > (3k + 1) .3  3k +1 > 9k + 3 > 3k + 4 Hay 3k + 1 > 3k + 4 Kết luận : vậy 3n > 3n + 1 3, Khai thác 10, CMR với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ta có bất đẳng thức 2n > 2n + 3 20, CMR với mọi số tự nhiên n ≥ 3 ta có bất đẳng thức 3n > n2 + 4n + 5. Bài tập thể hiện phương pháp suy diễn:Bài tập thể hiện phương pháp phản chứng Bài 1:CMR nếu a5 + b5 mà chia hết cho 5 thì ta có a + b chia hếtcho 5. 1, Phân tích: Đây là bài toán chứng minh sự chia hết có điều kiện. Có rất nhiều cách để chứng minh sự chia hết thì ta có thể sửdụng một trong số các cách sau tách tổng thành nhiều hạng tử chứngminh chia hết nhờ phân tích thành nhân tử ,có thể sử dụng nguyên tắcsuy luận Dirichlet có thể sử dụng các định lý ơle định lý fercma ,hoặccó thể sử dụng phương pháp quy nạp … Tuy nhiên ở bài này chứng minh theo những cách đó rất khó vìbài toán có điều kiện ràng buộc,mà ta nhận thấy nếu a + b không chiahết cho 5 thì ta sẽ có (a5 + b5) – (a - b) = (a5 - a) + (b5 - b) không chia hếtcho 5 Tuy nhiên ta lại có a5 – a = a (a4 - 1)= (a2 - 1)a(a2 + 1) = (a - 1)a(a + 1)(a2 + 1) = (a - 1)a (a + 1)(a2 – 4 + 5) = (a - 1)(a - 1)a(a + 1)(a + 2)+ ...