Bài tập toán cao cấp

Toán cao cấp là môn học Đại cương của khối kinh tế, các ngàng kỹ thuật. Môn này là 1 môn toán học, ứng dụng các phương pháp toán học trong phân tích kinh tế để sinh viên tiếp cận với phương pháp mô hình trong Kinh tế học thực chứng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập toán cao cấp Câu 1: Tính giới hạn bội: x3 + y 3 a ) lim 2 x →0 x + y 2 y →0 x3 + y 3 x3 y3 x3 y3  Có : 0 ≤ 2 ≤ 2 + 2 ≤ 2 + 2 ≤ x + y x +y 2 x +y 2 x +y 2 x y  x3 + y 3  ⇒ lim 2 =0 Mà : lim( x + y ) = 0 x→0 x + y 2  y →0 x →0 y →0   x +y 3 3 ⇒ lim 2 =0 x →0 x + y 2 y →0 b) lim ( xSin y 3 x ) x→ y→ 0 0 x2 + y2 Có : lim xSin y 3 x = lim  ( Sin y 3 x . 2 ) y3x2  = lim y3x2 ( ) x→ y→ 0 0 x2 + y2 x→ y→  0 0 y3x x + y 2  x→0 x 2 + y 2  y→ 0 y3x2 y3x2  Mà : 0 ≤ ≤ = y3  y3x2 x2 + y2 x2  y3 x2  ⇒lim 2 = 0 ⇒lim 2 =0 x→ x + y 2 0 x→ x + y 2 0 Mặt khác: lim y 3 = 0  y→ 0 y→ 0 x→ y→ 0 0   ⇒lim ( xSin y 3 x =0 ) x→ y→ 0 0 x2 + y2 Câu 2: Xét sự hội tụ, phân kì của tích phân suy rộng loại 1: +∞ a ) ∫ xα e −βx dx ( α , β > 0) 1 xα (1 + x 2 ) lim = 0 (Vì sự nhân lên của hàm lũy thừa chậm hơn của hàm x →+∞ e βx mũ) xα (1 + x 2 ) ⇒ ∃ A > 0 sao cho v ∀x > A ta có : 0 sao cho v ∀x > A ta có : βx < e 1 + x2 +∞ dx Mà tích phân ∫1 + x 1 2 hội tụ vì: +∞  π a dx dx  a ∫ 1 + x 2 = alim ∫ 1 + x 2 = alim  arctan 1 →+∞ 1 →+∞ x = 1 4 +∞ ⇒ ∫x α e − βx dx ( α , β > 0) hội tụ 1 +∞ −2 x +∞ e .Cosx  1 e −2 x .Cosx b) ∫ dx = ∫  (1 + x 2 ) (1 + x 2 ) dx  .  1 (1 + x 2 ) 2 1  + ∞ 1 ∫ dx hội tụ  1 (1 + x ) 2Có :  −2 x  e .Cosx = Cosx ≤1  (1 + x 2 ) (1 + x 2 )e 2 x  +∞ −2 x e .Cosx ậ Theo tiêu chuẩn dirichlet thì tích phân ∫ (1 + x 2 ) 2 ...