Bài tập toán cao cấp - Phần 2

Tham khảo tài liệu bài tập toán cao cấp - phần 2, khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập toán cao cấp - Phần 2 ĐỀ TÀI 515- Câu 1: Cho hàm z = x2 – 2xy + 1. Tìm cực trịGiải:Ta có: z = x2 – 2xy + 1 = f(x,y)  f x′ = 2 x − 2 y = 0  x − y = 0 x = 0  ′ ⇒ ⇒  f y = −2 x = 0  x = 0 y = 0Vậy điểm dừng là (0,0). Ta có: A = f x′′ = 2 2 mà ∆ = AC − B 2 ′′ B = f xy = −2 = 0 − (−2) 2 C = f y′′ = 0 2 = −4 < 0 ⇒ Tại (0,0) không có cực trị24 - Câu 2: Cho hàm z = x6 – y5 – cos2x – 32y. Tìm cực trị.Giải:Ta có: z = x6 – y5 – cos2x – 32y = f(x,y)  f x′ = 6 x 5 + 2sin x cos x = 0  3 x 5 = − sin x cos x   ⇒  f y′ = −5 y − 32 = 0 4  −5 y = 32 4   x = 0 (vì sinx và cosx đối nhau) 32 y =− 4 (vô nghiệm) 5Vậy hàm z không có điểm dừng33- Câu 3: Cho hàm z = x2 + 4xy + 10y2 +2x + 16y. Tìm cực trịGiải:Ta có: z = x2 + 4xy + 10y2 +2x + 16y = f(x,y)  f x′ = 2 x + 4 y + 2 = 0  x + 2 y + 1 = 0 x = 1  ′ ⇒ ⇒  f y = 4 x + 20 y + 16 = 0  x + 5y + 4 = 0  y = −1Vậy điểm dừng là (1,-1). Ta có: A = f x′′ = 2 2 mà ∆ = AC − B 2 ′′ B = f xy = 4 = 40 − 16 C = f y′′ = 20 2 = 24 > 0 mà A = 2 > 0 ⇒ (1,-1) là điểm cực tiểu.59 - Câu 4: Xác định cận của tích phân: I = ∫ ∫f ( x, y dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi D ycác đường: D: x + y ≤ 1, x – y ≤ 1, x ≥ 0.Giải: y = x-1Ta có I = ∫∫ f ( x, y ) dxdy (*) D 1Ta có: x + y ≤ 1 ⇒ y = 1 − x x – y ≤ 1 ⇒ y = x −1 O 1 2 x mà x ≥ 0 -1 1 1− x y = 1-xTừ (*) ⇒ I = ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy 0 x −1 1 x368 - Câu 5: Đổi thứ tự tính tích phân I = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy . 0 0Giải: y x=1Ta có:0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1  ⇒0 ≤ y ≤ x 3 y ≤ x ≤1 D 3  1 ( ) dy 1 1 1 1⇒ I = ∫ dy ∫ dx = ∫ 1 − y 3 -1 0 3 y 0 1 O x  3 4  3 1=  y − y 3  = 1− =  4 0 4 4 -1 2 2x D278 - Câu 6: Thay đổi thứ tự tính tích phân: I = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy . 1 x y=xGiải: yD1 = [ 1, y ] x [ 1, 2] 2 y D 2 =  , 2  x [ 2, 4] 2  1 D1 2 y 4 2I = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx + ∫ dy ∫ f ( x, y )dx 1 4 1 2 4 43 1 4 y4 2 4 43 1 4 2 2 O x J K x=2 2 ...