Bài toán biên thứ nhất cho phương trình cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng đổi dấu

Bài toán biên thứ nhất cho phương trình cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng không âm đã được trình bày trong nhiều tài liệu ( xem [1], [2], [3]). Trong mục này chúng tôi mô tả phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng đổi dấu trong miền Ω+ và Ω- , cách đặt bài toán biên thứ nhất cho từng miền Ω+ và Ω- một cách riêng biệt.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài toán biên thứ nhất cho phương trình cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng đổi dấuT¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT CHO PHƯƠNG TRÌNH CẤP HAI TUYẾN TÍNHTỔNG QUÁT VỚI DẠNG ĐẶC TRƯNG ĐỔI DẤUNguyễn Thị Ngân (Trường ĐH Sư phạm – ĐH Thái Nguyên)1. Mở đầuBài toán biên thứ nhất cho phương trình cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưngkhông âm đã được trình bày trong nhiều tài liệu ( xem [1], [2], [3]). Trong mục này chúng tôimô tả phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng đổi dấu trongmiền Ω+ và Ω-, cách đặt bài toán biên thứ nhất cho từng miền Ω+ và Ω- một cách riêng biệt.1.1 Phương trình với dạng đặc trưng đổi dấuTa ký hiệu Ω là miền bị chặn trong Rn với biên ∑ ≡ ∂Ω . Trong Ω cho phương trình cấphai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng đổi dấu như sau:nnk , j =1k =1L ( u ) = ϕ ( x ) ∑ a kj ( x ) u x k x j + ∑ b k ( x ) u x k + c ( x ) u = f ( x ) (1.1)với điều kiện:akj = ajk ;A( x, ξ ) =(1.2)n∑ak , j =1kj( x )ξ k ξ j ≤ 0;(1.3)cho mọi véc tơ ξ = (ξ1, …, ξn) và mọi điểm x ∈ Ω. Hàm số ϕ(x), f(x), u(x) ∈ Lp (Ω).Ta giả thiết hàm ϕ(x) có tính chất:Nếu ϕ(x) = 0 thì grad ϕ(x) ≠ 0(1.4)Ω = Ω+ ∪ S ∪ Ωvới:Ω+ = {x ∈ Ω ; ϕ (x) > 0} ;Ω- = {x ∈ Ω ; ϕ (x) < 0} ;S = {x ∈ Ω ; ϕ (x) = 0} ;Mặt S phân chia miền Ω (một cách địa phương) thành hai miền: một miền có ϕ(x) > 0,miền còn lại có ϕ(x) < 0.1.2 Mô tả phương trình trong các miền Ω+ , ΩTa kí hiệu Σ+ là biên của miền Ω+.Σ- là biên của miền ΩBiên Σ của miền Ω được chia dưới dạng:Σ = Σ ∪ Σ ;trong đó: Σ = ∑ ∪Ω + ;Σ = ∑ ∪Ω − .Do vậy:111T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008∑ ∪ S = ∑ + ;∑ ∪ S = ∑ − .Trong miền Ω+, ta xét phương trình cấp hai tuyến tính tổng quát có dạng:n∑L (u ) = ϕ ( x )n∑ba kj ( x ) u x k x j +k , j =1kk =1( x ) u x k + c ( x ) u = f ( x ) (1.5)Do điều kiện (1.3) và ϕ (x) > 0 trong miền Ω+ nên phương trình (1.5) là phương trìnhcấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng không âm.Hàm số:n∑b+ (x) =(bkn∑−k =1akjj =1ϕ−xjn∑j =1ϕakjxj)η,ktrong đó η = (η1 ,η 2, ...η n` ) là véc tơ pháp tuyến trong đơn vị tại mỗi điểm x∈ Σ+, là hàmFikera cho phương trình (1.5).Ta ký hiệu:∑∑∑∑∑Ta có:0++∑ ; A ( x ,η ( x= {x ∈ ∑ ; b ( x ) = 0 };= {x ∈ ∑ ; b ( x ) > 0 };= {x ∈ ∑ ; b ( x ) < 0 };= ∑ ∑++++0+0++∑ = ∑ ∪∑ ∪∑ ∪ ∑+3+})) = 0 ;0+2+00+10++03{= x0 ∈+0+1+2Trong miền Ω-, nhân hai vế của (1.5) với (-1) ta có:L (u ) = −ϕ ( x )n∑a kj ( x ) u x k x j −k , j =1n∑bk =1k( x ) u x k − c ( x ) u = − f ( x ) (1.6)Do điều kiện (1.3) và ϕ(x) < 0 trong miền Ω- nên phương trình (1.6) là phương trình cấphai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng không âm. Hàm số:b− ( x ) =n∑k =1k(−b ) −n∑( − a k j )ϕj =1xj−n∑j =1ϕ ( − a k j ) x η k ,jtrong đó η = (η1 ,η 2, ...η n` ) là véc tơ pháp tuyến trong đơn vị tại mỗi điểm x∈ Σ-, là hàmFikera cho phương trình (1.6).Ta ký hiệu:∑∑∑∑∑1120__0−1−2−3{∑ ; A ( x ,η ( x= {x ∈ ∑ ; b ( x ) = 0 };= {x ∈ ∑ ; b ( x ) > 0 };= {x ∈ ∑ ; b ( x ) < 0 };= ∑ ∑= x0 ∈0−0−−0−−0−−0−−0})) = 0 ;T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008Ta có: ∑ − = ∑ 3− ∪∑ 0− ∪∑ 1− ∪∑ −2Ta dễ dàng chứng minh được các định lý sau:Định lý 1.2.1: Với mọi x ∈ S véc tơ grad ϕ(x) cùng hướng với véctơ pháp tuyến trongđơn vị miền Ω+.00Định lý 1.2.2. S ⊂ ∑+ ∩ ∑−Định lý 1.2.3. Với mọi x ∈ S, ta có:b+(x) = b-(x)Định lý 1.2.4. Giả sử hàm ϕ(x) thỏa mãn điều kiện sau:n∑ b ( x)ϕkk =1+2Khi đó S ⊂ ∑ ∩∑xkn∑a( x)