Bài toán hình học phẳng qua cách giải bằng góc định hướng

Bài toán hình học phẳng qua cách giải bằng góc định hướng được biên soạn với các nội dung: Các định nghĩa, các tính chất, ứng dụng, bài tập minh họa, bài tập đề nghị. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài toán hình học phẳng qua cách giải bằng góc định hướngwww.VNMATH.comgBeÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNGwQUA CÁCH GIẢI BẰNG GÓC ĐỊNH HƯỚNGNGUYỄN LÁICái khó, không thấy được giải nó bằng góc định hướng.Khi đã thấy , ta thấy toán học sao mà hấp dẫn lạ!I. CÁC ĐỊNH NGHĨA1. Góc định hướng của hai vectơ chung gốc.Kí hiệu : OA, OB . OA : là vectơ đầu; OB : là vectơ cuối.( )sd (OA, OB ) = a + k 2p ;()hoặc sd OA, OB º a (mod 2p ) . Trong đó goc AOB = a (0 £ a £ 2p )là góc không định hướng.2. Góc định hướng của hai vectơ không chung gốc.Cho hai vectơ AB, CD ( đều khác vectơ không). Lấy điểm O dựng OM = AB, ON = CD(uuu uuur r)(uuuu uuurr)Ta có sd AB, CD = sd OM , ON = a + k 2p3. Góc định hướng của hai đường thẳng.Kí hiệu: (a, b) . a là đường thẳng đầu; b là đường thẳng cuối.sd(a, b) = a + kp ,hay sd(a, b) = a (mod p ) . trong đó a là góc không tù của góc hai đường thẳng a và bkhông hướng.II. CÁC TÍNH CHẤT.1.(AB, CD) = AB, CD ; .(AB, CD) º ( AB, DC ) (mod p ) ;.(AB, CD) º ( BA, CD ) (mod p )2.Hai đường thẳng a , b trùng nhau hoặc song song khi và chỉ khi (a, b ) º 0 (mod p )p3.Hai đường thẳng a , b vuông góc nhau khi và chỉ khi (a, b ) º ( modp )()24.Góc (a, b) º (b, a) (mod p )5.Hệ thức Sale : (a, b) = (a, c) + (c; b). (mod p ) .6. Hiệu (a, b) º (c, b) – (c, a).III. ỨNG DỤNG+Ba điểm thẳng hàng.-Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi (AB,AC) º 0 (mod p ) .Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi (AB,AM) º (AC,AM) (mod p ) (M tùy ý).+Hai đường thẳng vuông góc.Hai đường thẳng AB, CD vuông góc khi và chỉ khi (AB,AC) ºp2( modp ) .+ Hai điểm đối xứng qua trục.Hai điểm A,A’ đối xứng qua trục BC khi và chỉ khi (AB, AC) º (A’C, A’B) (mod p ) .+ Góc nội tiếp vaø góc ở tâm : M, A, B ở trên đường tròn (O):(MA, MB ) = 1 (OA, OB ) º ( BA, BT ) (mod p ) ,2trong đó BT là tiếp tuyến của (O) tại B.+Boán điểm cùng nằm trên đường tròn.:www.VNMATH.com-BốnđiểmA,B,C,Dcùngnằmtrênđườngtrònkhivàchỉkhi(AB,AD) º(CB, CD ) (mod p )Hệquả:TậphợpđiểmMnằmtrongmặtphẳngchứatamgiácABCthỏamãn:(MA, MB) º(CA, CB) (mod p )làđườngtrònngoạitiếptamgiácABC.+Goùccủahaiđườngthẳngcócáccạnhđôimộtvuônggóc.Ta coù AB ^ EF;CD ^ HG khivàchỉkhi(AB,CD) º (EF;HG) (mod p) .+Tậphợpđiểm- {M/( MA, MB) º a (mod p )} = cungtrònchứagóc aquaA,B. {M/( MA, MB) º -a (mod p )} = cungtrònkhôngchứagóc a quaA,B.IV.BÀITẬPMINHHỌAA.Phươngphápphứngminhhaiđườngthẳngsongsong ,bađiểmthẳnghàng.+ Haiđườngthẳnga,bcùngphươngkhivàchỉkhi(a,b) º 0 (modp ) .+Haiđườngthẳnga,bcùngphươngkhivàchỉkhi(a;c) º (b,c)(mod p ),đườngthẳngctùyý+ BađiểmA,B,Cthẳnghàngkhivàchỉkhi(AB,AC) º 0 (modp ) .+BađiểmA,B,Cthẳnghàngkhivàchỉkhi(AB,EF) º (AC,EF)(mod p ),đườngEFtùyý.Bài1.Chohaiđườngtròn(O)và(O’)cắtnhautạiA,B.HaicáttuyếnbấtkìD,D’lầnlượtquaA,Bcắt(O)và(O’)lầnlượttạiM,M’ vàN, N’.ChứngtỏMN//M’N’.HD. Tacó(MN,MA) º (BN,BA) (modp ) .(1) . vì(AMNB)nộitiếpMA(M’A,M’N’,) º (BA,BN’) (modp ) . vì(AM’N’B)nộitiếpM Û Hay(MA,M’N’) º (BA,BN) (modp ) .(2)OOCộng(1)và(2)theoSaletacó: (MN,M’N’)=0 Þ MN//M’N’NBNHAMFBECBài2.(ĐườngthẳngSimson) .ÑểđiểmMnằmtrênđườngtrònngoạitiếptamgiácABCkhivàchỉkhicáchìnhchiếucủaMlầnlượtxuốngbacạnhtamgiácABCthẳnghàng .HD.Giảsử E,F,HlầnlượtlàhìnhchiếucủaMxuốngcạnh BC, AC,AB.TacóE,F,Hthẳnghàng Û( HE , HM ) = ( HF , HM )(mod p )Û (CE , CM ) =( HF , HM )(mod(p ).(vìHMECnộitiếp)Û (CB, CM ) =( AB, AM )(mod p ) (HMFAnộitiếp)Û AMBCnộitiếpÛ MÎ VòngngoạitiếptamgiácABC.B.Phươngphápchứngminhhaiđườngthẳngvuônggóc.+HaiđườngthẳngAB,CDvuônggóckhivàchỉkhi(AB,AC) ºp2(mod p ) .ìa ^ bÛ d ^ b .î(a, c ) º (d , c)(mod p)+íBài1.Haidâycung AB,CDcủađườngtròn(O)vuônggócnhautạiP.ChứngminhtrungtuyếnPMcủatamgiácBPClàđườngcaocủatamgiácPAD.DHD.Tacó(PM,AD)=(PM,PC)+(PC,AD)=(PM,PC)+(DC,DA).VìtamgiácPMCcântạiMnên (PM, PC)=(CP,CB)=(CD,CB)=(AD,AB).thayvào(1)tacó(PM,AD)=(AD,AB)+(DC,DA)=(DC,DA)+(DA,AB)PBAMCwww.VNMATH.com=(DC,AB) ºp2(mod p )Suyra (PM,AB) ºp2(mod p ) Þ PM ^ AD .Bài2.Chohaivòngtròn(O)và(O’) cắtnhautạiA,B.MộtđiểmMlưuđộngtrên(O).MAvàMBcắtvòng(O’)tạiCvàD.Chứngminh MO ^CD .HD.TạiMkẽtiếptuyếnvòng(O)TMTacó(MA,MT) º (BA,BM) (mod p) (1)ACXétvòng(O’)tacó(BA,BD) º (CA,CD) (mod p) (2)OOhay(BA,BM) º (MA,CD) (mod p) (3)BTừ(1),(2),(3)tacó(MA,MT) º (MA,CD) (mod p) Þ CD // MTDMà MT ^ MO Þ MO ^ CDBài3. Cho tamgiácABC. VềphíangoàinótadựngcáctamgiácđềuABE,ACF.GọiGlàtâmtam0giácABEvàKlàtrungđiểmcủađoạnEF.ChứngminhrằngtamgiácKGCvuôngvàcómộtgóc 60 .EAPLôøi giaûi.DựngđiểmPsaochoEGFPlàhìnhbìnhhànhKTachứngminhtamgiácCGPcântạiC.GFXéthaitamgiácGACvàCPFcóEG=PF Þ AG = PF (1).CA=CF(2).Mặtkhác(FP,FC) º (GE,FC) (mod p) .BCVậy(FP,FC)=(GE,GA)+(GA,CA)+(CA,FC) (mod p)Chọn(AB,AC)làgócdương,tacó2ppTacó(GE,GA) =;(CA,FC) º (CA,CF) (mod p) =332ppVậy(FP,FC) º(+(GA,CA)+ ) (mod p) =(AG,AC) (mod p ) Þ ÐGAC = ÐPFC (3).33Từ(1),(2),(3) Þ DGAC = DCPF Þ CG = CP ,nêntamgiáccânGCPcótrungtuyếnCKcũngvừalàđườngcao,haytamgiácKGCvuôngtạiK,0¼ ¼¼ ACP ¼ ACP¼ ACFMaët khaùctacó GCA = PCF Þ GCA + ¼ = PCF +¼, hay GCP = ¼=600¼Dođó KGB =60 .Bài4. ChotamgiácABCnộitiếpđườngtròn(O).MNlàmộtđườngkínhcủa(O).ChứngminhrằngcácđườngthẳngSímsontamgiácABCứngvớihaiđiểmM,Nthìvuônggócnhau.HD.GọiX,Ylàcáchìnhchiếu ...