Bản tin Toán học (Bộ môn Toán trường PTNK) – số 03

Đối với mỗi số tự nhiên n lớn hơn bốn không thể tìm được công thức biểu diễn nghiệm của mọi phương trình bậc n thông qua các hệ số của nó sử dụng căn thức và các phép toán số học.Chúng ta sẽ chứng minh ở đây một điều mạnh hơn, và chính là tồn tại một phương trình (cụ thể) bậc năm với hệ số nguyên không giải được bằng căn thức
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bản tin Toán học (Bộ môn Toán trường PTNK) – số 03B¶ntinTo¸nhäc(Bém«nTo¸ntrêngPTNK)sè03 1 BAÛN TIN TOAÙN Soá 0 HOÏC 3Trongsoánaøy:- Abelvµ®Þnhlýlíncña«ng(tiÕptheo).- Lêigi¶ivµnhËnxÐtc¸c®Òto¸nsè02. §Òrakúnµy.-- LiªnhÖgi÷ad∙ysèvµd∙y®athøc.- GiíithiÖugi¶ithëngWolf.- TiÕngAnhquac¸cbµito¸n.Abelvµ®Þnhlýlíncña«ng(TiÕptheokútr íc) V.Tikhomirov(NgêidÞch:TrÇnNamDòng)§ÞnhlýAbel. §èivíimçisètù n¨m gi¶i ®îc b»ng c¨n thøc th× nã hoÆccã 5nghiÖmthùchoÆccã nhiªn n lín h¬n bèn kh«ng thÓ duy nhÊt mét nghiÖm thùc. Tat×m ®îc c«ng thøc biÓu diÔn chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cñanghiÖmcñamäiph¬ngtr×nhbËcn chóng ta cã 3 nghiÖm thùc. Kýth«ng qua c¸c hÖ sè cña nã sö hiÖu c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nhdông c¨n thøc vµ c¸c phÐp to¸n nµy lµ x1, x2, x3, x4, x5. Theosèhäc. ®Þnhlý ViÌtte(xemPhô lôc), σ 1ChóngtasÏ chøngminh ë ®©ymét = ∑15xk = 0 (bëi v× tæng c¸c®iÒu m¹nh h¬n, vµ chÝnh lµ tån nghiÖm b»nghÖ sè cñax4,mµ nãt¹imétph¬ngtr×nh(cô thÓ) bËc b»ng0).TiÕptheo σ 2 = ∑15xkxl =n¨mvíihÖ sè nguyªnkh«nggi¶i 0(v× tængc¸ctÝchcÆpb»nghÖ®îcb»ngc¨nthøc. sè cña x3, mµ nã còng b»ng 0).VÝ dô sÏ lµ ph¬ngtr×nh p(x)= Nhngkhi®ãs2=∑15xk2=σ 12− σ 2 2x5−4x− 2=0 = 0, tõ ®©y suy ra p(x) kh«ngCã thÓ chøng minh ®îc (h∙y thö thÓ cã 5nghiÖm ®Òuthùc.NhvËytù lµm ®iÒu nµy) r»ng ®a thøc p(x)cã nghiÖmphøca+bi.Nhngp(x) kh«ng thÓ ph©n tÝch ®îc khi®ãa− bicònglµnghiÖm.MÆcthµnh c¸c thõa sè bËc nhá h¬n kh¸c, ph¬ng tr×nh cña chóng tavíihÖ sè h÷utØ(nh÷ng ®athøc cã kh«ng díi ba nghiÖm thùc v×nh vËy ®îc gäi lµ bÊt kh¶ quy p(− = − 26, p(− = 1, p(1) = 2) 1)vÒ tÝnhchÊtcñachóngxemtrong − p(2) = 22 vµ sù tån t¹i ba 5,phÇnPhôlôc). nghiÖm ®îcsuyratõ ®Þnhlý vÒTÝnh kh«ng gi¶i ®îc b»ng c¨n c¸c gi¸ trÞ trung gian cña hµmthøccñaph¬ngtr×nhp(x)=0 ® sè liªntôc.Nh vËychóngta ®∙îcsuyratõkÕtqu¶nÒnt¶ngsÏ chøngminh ®îcr»ng ®athøcp(x)®îcchóngtachøngminhdíi ®©y: cã®óngbanghiÖmthùc.nÕuph¬ngtr×nhbÊtkh¶quybËc B¶ntinTo¸nhäc(Bém«nTo¸ntrêngPTNK)sè03 2(Chøng minh trªn lµ mét chøng sungthªmtÊtc¶c¸cc¨ntrõ c¨nminh ®¹isè vµ ®Þnhlý ViÌttesÏ cuèicïng r= n√a,trong ®ã acßn ®îcsö dông ë c¸cphÇntiÕp thuéc P vµ a ≠ αn víi mäi αtheo.Tuynhiªnkh¼ng ®Þnhph¬ng thuéc P. Kh«ng mÊt tÝnh tængtr×nh ®∙ cho kh«ng thÓ cã 5 qu¸t cã thÓ gi¶ sö n lµ sènghiÖmthùccã thÓ chøngminhdÔ nguyªntè (v× nÕunkh«ngnguyªndµngb»nggi¶itÝch:nÕunã cã 5 tè th× nã cã thÓ viÕt díi d¹ngnghiÖm thùc th× theo ®Þnh lý n = n1p, trong ®ã p nguyªn tè,Rolleph¬ngtr×nhp’(x)=5x4 − 4 nh vËy ®Çutiªntabæsung n1√aph¶icã 4nghiÖmthùc,trongkhi =a1,sau®ãlµp√a1).nãchØcã2nghiÖmthùc). Theo ®Þnh nghÜa, p(x) cã nghiÖmChøngminhkh¼ng®ÞnhchÝnh ...