Báo cáo nghiên cứu khoa học: Đánh giá tính ổn định cho phương trình dạng Burgers ngược thời gian

Tuyển tập những báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh tác giả: 3. Nguyễn Văn Đức, Đánh giá tính ổn định cho ph­ương trình dạng Burgers ng­ược thời gian...Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số." Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý học...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Đánh giá tính ổn định cho ph­ương trình dạng Burgers ng­ược thời gian" ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh cho ph­¬ng tr×nh d¹ng Burgers ng­îc thêi gian NguyÔn V¨n §øc (a) } Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i ®­a ra ®¸nh gi¸ æn ®Þnh d¹ng Holder cho nghiÖm ph­¬ng tr×nh Burgers ng­îc thêi gian  ut = (a(x, t)ux )x − uux , (x, t) ∈ (0, 1) × (0, 1),  u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 t 1,  u(x, 1) = ϕ(x), 0 x 1.  më ®Çu 1. } Trong bµi b¸o nµy chóng t«i ®­a ra ®¸nh gi¸ æn ®Þnh d¹ng Holder cho ph­¬ng tr×nh d¹ng Burgers ng­îc thêi gian  ut = (a(x, t)ux )x − uux , (x, t) ∈ (0, 1) × (0, 1),  (1.1) u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 t 1,  u(x, 1) = ϕ(x), 0 x 1.  Bµi to¸n (1.1) th­êng xuyªn b¾t gÆp trong øng dông khi nghiªn cøu vÒ c¸c qu¸ tr×nh sãng phi tuyÕn, trong lý thuyÕt vÒ ©m häc phi tuyÕn hay lý thuyÕt næ,... (xem [4] vµ c¸c tµi liÖu tham kh¶o trong nã). Bµi to¸n (1.1) thuéc líp bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh, cã nghÜa lµ sai sè dï nhá trong phÐp ®o d÷ kiÖn còng cã thÓ dÉn ®Õn mét sai sè ϕ(x) rÊt lín cña nghiÖm hoÆc thËm chÝ lµm cho ph­¬ng tr×nh trë nªn v« nghiÖm. ChÝnh v× vËy, vÊn ®Ò ®Çu tiªn khi nghiªn cøu c¸c bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh lµ viÖc t×m c¸c ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh cña nghiÖm. C¸c ®¸nh gi¸ nµy cho ta biÕt ®­îc bµi to¸n xÊu ®Õn møc nµo, ®Ó tõ ®ã cã thÓ ®­a ra c¸c ph­¬ng ph¸p sè h÷u hiÖu. Ngoµi ra, c¸c ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh còng rÊt quan träng trong viÖc chøng minh sù héi tô vµ c¸c ®¸nh gi¸ sai sè cña c¸c ph­¬ng ph¸p chØnh khi gi¶i bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. §Ó ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh nghiÖm cña bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh ng­êi ta th­êng bæ sung c¸c th«ng tin cã ý nghÜa vÒ ph­¬ng diÖn vËt lý cho nghiÖm, sau ®ã míi ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh trong líp nghiÖm thu hÑp nµy. §èi víi ph­¬ng tr×nh d¹ng Burger võa ®­îc ®Ò cËp ë trªn, th«ng C 2 ,1 tin vÒ nghiÖm cã thÓ chÊp nhËn ®­îc ®ã lµ chuÈn cña nghiÖm lµ giíi néi. Cô thÓ nh­ sau 1 NhËn bµi ngµy 18/5/2007. Söa ch÷a xong ngµy 02/10/2007. D = {(x, t) : 0 < x < 1, 0 < t < 1}. Gi¶ thiÕt a(x, t) lµ hµm thuéc C 2,1 (D), KÝ hiÖu trong ®ã C 2,1 (D ) lµ kh«ng gian c¸c hµm kh¶ vi liªn tôc hai lÇn theo biÕn x, mét lÇn theo biÕn t trong D , liªn tôc trªn D vµ tån t¹i h»ng sè d­¬ng β > 0 sao cho a(x, t) β > 0, víi mäi (x, t) ∈ D. 1. u(x, t) ®­îc gäi lµ thuéc vµo tËp V Mét hµm nÕu §Þnh nghÜa u(x, t) M, C 2,1 (D) M víi lµ mét h»ng sè d­¬ng cho tr­íc. Khi nghiÖm cña (1.1) ®­îc h¹n chÕ trong tËp V võa ®­îc ®Þnh nghÜa ë trªn th× ta cã thÓ ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh nghiÖm cña nã. C¸c ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh cho ph­¬ng tr×nh Burgers ®· ®­îc nghiªn cøu trong [2] vµ [4]. Trong [4] t¸c gi¶ gi¶i quyÕt cho ph­¬ng tr×nh víi hÖ sè cña lµa(t) tøc lµ hµm sè chØ phô thuéc vµo biÕn thêi gian, cßn trong uxx [2], t¸c gi¶ ®¸nh gi¸ æn ®Þnh cho tr­êng hîp hÖ sè cña uxx lµ h»ng sè. Trong bµi viÕt nµy, chóng t«i gi¶i quyÕt cho tr­êng hîp hÖ sè nµy võa phô thuéc biÕn kh«ng gian võa phô thuéc biÕn thêi gian. Mét sè c¸c kÕt qu¶ liªn quan cho ph­¬ng tr×nh Navier-Stokes ng­îc thêi gian cã thÓ tham kh¶o ë c¸c tµi liÖu [1, 3]. KÕt qu¶ chÝnh 2. Ký hiÖuu1 (x, t) vµ u2 (x, t) lµ nghiÖm cæ ®iÓn cña bµi to¸n (1.1) t­¬ng øng víi c¸c 1 d÷ kiÖn ϕ1 (x) vµ ϕ2 (x); ®Æt z (x, t) = u1 (x, t) − u2 (x, t) vµ f (t) = 0 z 2 (x, t)dx. 1. NÕu ui (x, t) ∈ V, i = 1, 2, th× tån t¹i c¸c h»ng sè d­¬ng c1 c2 vµ (kh«ng phô §Þnh lý ui (x, t)) sao cho thuéc vµo e(c2 /c1 )[t−α] [f (0)](1−α) [f (1)]α , ∀t ∈ [0, 1], (2.1) f (t) trong ®ã ...