Báo cáo nghiên cứu khoa học: LỰC NÚT TƯƠNG ĐƯƠNG BÊN TRONG CỦA PHẦN TỬ ỨNG SUẤT PHẲNG TRONG BÀI TOÁN PHẦN TỬ HỮU HẠN PHI TUYẾN

Đặt vấn đề Trong thực tế tính toán kết cấu, chúng ta thường phải phân tích bài toán phi tuyến. Bài toán này đưa về giải phương trình chứa các số hạng phi tuyến đối với ẩn số. Nói chung, không thể giải một cách chính xác dưới dạng đóng những phương trình phi tuyến mà phải dùng các thuật toán đúng đắn, trong đó tiêu chuẩn hội tụ là vấn đề cần quan tâm.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "LỰC NÚT TƯƠNG ĐƯƠNG BÊN TRONG CỦA PHẦN TỬ ỨNG SUẤT PHẲNG TRONG BÀI TOÁN PHẦN TỬ HỮU HẠN PHI TUYẾN"LỰC NÚT TƯƠNG ĐƯƠNG BÊN TRONG CỦA PHẦN TỬ ỨNG SUẤT PHẲNG TRONG BÀI TOÁN PHẦN TỬ HỮU HẠN PHI TUYẾNThS. NGUYỄN ĐẠI VIÊNSở Xây d ựng Thừa Thiên Hu ế1. Đặt vấn đề Trong thực tế tính toán kết cấ u, chúng ta thư ờng phải phân tích bài toán phi tuyế n. Bài toán nàyđư a v ề gi ải ph ư ơ ng trình ch ứa các s ố h ạng phi tuyế n đ ối vớ i ẩn s ố. Nói chung, không th ể g iải mộ tcách chính xác dư ới dạ ng đóng nhữ ng phư ơng trình phi tuy ế n mà ph ải dùng các thuật toán đúng đắn,trong đó tiêu chuẩ n hội t ụ là vấn đề cầ n quan tâm. Trong phư ơng pháp phầ n tử hữ u hạ n (PTHH), tả i trọng tác dụ ng lên hệ đ ư ợ c thay thế gần đúngbằ ng m ột hệ l ực đặt tại các nút c ủa phần tử (g ọi là lực nút tư ơng đ ư ơng bên ngoài). T ư ơng tự , cácthành phầ n ứ ng su ất của hệ c ó thể đư ợc thay thế g ần đ úng b ằng mộ t h ệ l ực đặt tại các nút c ủa phầ n t ử(tạ m gọi là lự c nút tư ơ ng đư ơng bên trong). T heo nguyên tắc cân bằ ng c ủa h ệ t hì hai hệ l ực này ph ải cân bằ ng nhau. Tuy nhiên, trong các bư ớclặ p của bài toán phân t ích phi tuyế n, sự chênh lệch giữ a hai hệ lực này luôn t ồ n t ại và có xu hư ớ nggi ảm dần khi s ố vòng lặ p tăng lên. Khi đ ộ chênh lệch này nhỏ h ơn mộ t giá tr ị q uy đị nh, ta nói bài toánhội t ụ. Bài báo nhằ m xác đị nh l ự c nút tư ơ ng đư ơ ng bên trong c ủa phầ n t ử c hữ nhật trong tr ạ ng thái ứ ngs uất phẳ ng. Đ ây là d ạng bài toán có phạ m vi ứ ng dụ ng t ư ơ ng đố i rộ ng rãi trong ngành xây dự ng, chếtạ o máy bay, đóng tàu...2. Cơ sở lý thuyếta. Phư ơ ng trình cân b ằ ng củ a hệ P THH ở v òng l ặp i có thể viết: Ri  F i  0 (1) Trong đ ó: Ri và Fi là véct ơ lực nút t ư ơng đư ơ ng bên ngoài và bên trong c ủa hệ ở vòng lặ p i . Gi ả sử l ờ i gi ải tại vòng lặ p i đã biết, cầ n xác đị nh l ờ i gi ải tại vòng l ặp (i+1). Vi ết lại (1) cho vòng l ặp (i+1): R i 1  F i 1  0 (2)Vì l ờ i gi ải tại vòng lặ p i đã biết nên ta có: F i 1  F i  F (3)V ới F là s ố gia lự c nút tư ơ ng đư ơng bên trong.Mặ t khác, véct ơ F c ó thể đư ợc vi ết: F  K i .U (4) Trong đ ó: Ki là ma tr ậ n độ c ứ ng c ủa h ệ ở v òng l ặp thứ i và U là véct ơ gia s ố chuy ể n vị n út.T hay (3), (4) vào (2): K i .U  R i 1  F i (5)Từ đó, tính đư ợ c chuy ể n vị tại vòng lặp i+1: U i 1  U i  U (6)V ới U là nghi ệ m của (5). Vòng l ặ p trên đây đư ợc dùng cho nhi ề u ph ư ơng pháp khác nhau. Trong đó, phư ơng pháp Newton-Raphson (xem hình 1) đư ợc dùng ph ổ biế n vì có độ hội t ụ cao. Tả i Ri+1 – F(1)i t rọng Ri+1 K(1)i Ri+1– F(0)i K(0)i Fi+1 Ri U(2) F(0)i U(1) Ui Ui+1 Chuyể n vị Hình 1. Phương pháp lặp Newton - RaphsonN ghiệm c ủa (5) là chuyể n vị gây ra bởi hi ệ u số gi ữa lực nút t ươ ng đ ươ ng bên ngoài ở v òng l ặp đangxét và lực nút tươ ng đư ơ ng bên trong ở vòng l ặp trướ c. Do vậ y, vi ệc xác đị nh l ực nút tư ơ ng đư ơ ngbên trong t ại mỗ i vòng lặ p là vấ n đề cầ n thi ết đ ối vớ i việc giải bài toán PTHH phi tuy ế n theo phư ơ ngpháp lặ p.b. Xét phần tử tứ giác 4 nút định vị trong hệ tọa độ Oxy, có trạng thái ứng suất phẳng. Để tiệntính toán, ta sử dụng phần tử tham chiếu định vị trong hệ toạ độ O. Trong hệ này, cácthành phần toạ độ  và  của những điểm trên phần tử tham chiếu mang các giá trị trong đoạn[-1, 1] (xem hình 2a và 2b).   k 1 y l 1 ...