Báo cáo nghiên cứu khoa học: MỘT NGUYÊN LÝ SO SÁNH CỦA NGHIỆM NHỚT CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI ELLIPTIC TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN

Các tính chất của nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục trên miền bị chặn đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như các nguyên lý so sánh, các định lý duy nhất nghiệm và các định lý tồn tại nghiệm. Bài báo này trình bày một nguyên lý so sánh của nghiệm nhớt cho các phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại elliptic trên miền không bị chặn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "MỘT NGUYÊN LÝ SO SÁNH CỦA NGHIỆM NHỚT CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI ELLIPTIC TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN" MỘT NGUYÊN LÝ SO SÁNH CỦA NGHIỆM NHỚT CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI ELLIPTIC TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN A COMPARARISON PRINCIPLE OF VISCOSITY SOLUTIONS TO SECOND ORDER ELLIPTIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS ON UNBOUNDED DOMAINS NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng NGUYỄN CỬU HUY HV Cao học khoá 2004-2007 TÓM TẮT Các tính chất của nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục trên miền bị chặn đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như các nguyên l ý so sánh, các định lý duy nhất nghiệm và các định lý tồn tại nghiệm. Bài báo này trình bày một nguyên lý so sánh của nghiệm nhớt cho các phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại elliptic trên miền không bị chặn. ABSTRACT The properties of viscosity solutions of scalar fully nonlinear partial differential equations of second order on bounded domains have been investigated by many authors providing comparison principles, uniqueness theorems and existence theorems. This paper describes a comparison principle for a viscosity solution of second order elliptic partial differential equations on unbounded domains.1. ĐẶT VẤN ĐỀ Xét phương trình đ ạo hàm riêng cấp hai phi tuyến to àn cục có dạng: F( u, Du, D 2 u) = f(x), (1.1) ntrong đó, F: R  R  S (n)  R với S(n) là ký hiệu của tập hợp tất cả các ma trận vuông đốixứng cấp n. Ta xét hàm số F( u, Du, D 2 u) với u là một hàm số giá trị thực xác định trên toàn R n , Du là ký hiệu gradient của u và D 2 u ký hiệu cho ma trận Hessian các đạo hàm cấp haicủa u, và f là một hàm cho trước. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của bài toán sau đây, Du và D 2 u không còn theo nghĩa cổ điển, tức là u không đ òi hỏi phải khả vi liên tục đến cấp hai. Ta khảo sát tính chất của nghiệm nhớt cho phương trình F = f, trong đó F p hải thỏamãn điều kiện đ ơn điệu (monotonicity condition): F(r, p, X)  F(s, p, Y) với r  s và Y  X. (1.2)Trong đó r, s  R, p  R n , X, Y  S(n) và trên S (n) đ ã trang bị thứ tự thông thường của nó. Lưu ý rằng, điều kiện ở trên cho ta hai điều kiện: F(r, p, X)  F(s, p, X) với r  s (1.3) F(r, p, X)  F(r, p, Y) với Y  X. (1.4)2. GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN 2.1. ĐỊNH NGHĨA NGHIỆM NHỚTĐể mô tả nghiệm nhớt cho phương trình (1.1) ta sử dụng các ký hiệu sau đây : C ( R n )  { u : R n  R | u liên tục trên R n } UC ( R n )  { u : R n  R | u liên tục đều trên R n } .Cho u  C ( R n ) . Ta ký hiệu J 2,  và J 2,  của hàm số u như sau:J 2,  u( x )={ ( D ( x ), D 2 ( x ))  R n  S(n) |  là C 2 và u   đ ạt cực đại địa phương tại x }J 2,  u( x )={ ( D ( x ), D 2 ( x ))  R n  S(n) |  là C 2 và u   đạt cực tiểu địa phương tại x }Ta định nghĩa : J 2, u(x) ={(p, X)  R n  S (n) |  ( xn , p n , X n )  R n  R n  S(n), ( p n , X n )  J 2, u( xn ) và ( x n , u( xn ), p n , X n )  ( x, u(x), p, X)} J 2, u(x) ={(p, X)  R n  S (n) |  ( xn , p n , X n )  R n  R n  S(n), ( p n , X n )  J 2, u( xn ) và ( xn , u ( x n ), p n , X n )  ( x, u(x), p, X)}.ĐỊNH NGHĨA: a. Một nghiệm nhớt d ưới của phương trình (1.1) là một hàm u  C ( R n ) sao cho : F( u(x), p, X)  f(x) với mọi x  R n và ( p , X)  J 2, u(x) ; b. Một nghiệm nhớt trên của phương trình (1.1) là một hàm u  C ( R n ) sao cho : F(u(x), p, X)  f(x) với mọi x  R n và ( p, X)  J 2, u(x) ; c. Một nghiệm nhớt của phương trình (1.1) là một hàm u  C ( R n ) sao cho u vừa là nghiệm nhớt dưới vừa là nghiệm nhớt trên của phương trình (1.1). 2.2. TÍNH DUY NHẤT NGHIỆMĐịnh lý: Cho f  UC ( R n ) . Giả sử F  UC ( R  R n  S ( n)) thỏa mãn (1.2) và tồn tại một sốthực   0 , một hàm liên tục  : [0, )  [0, ) thỏa mãn  (0 )  0 sao cho :(i)  (r  s )  F(r, p , X) - F(s, p, X) với r  s, ( p, X )  R n  S ( n ),(ii) F(r, p, X) - F(r, q, Y)   (| p  q |  X  Y ) với mọi p, q  R n , r  R , và X, Y  S (n) . Khiđó, n ếu u là nghiệm nhới dư ới của (1.1) và v là nghiệm nhớt trên của (1.1) sao cho u và v biếnthiên hầu tuyến tính, thì u  v trên R n .Chứng minh:Ta chứng minh định lý theo hai bước. Trước hết, ta lưu ý rằng vì f  UC ( R n ) nên tồn tại mộthằng số K sao cho : sup ( f ( x)  f ( y )  K | x  y | )   , (2.1) Rn Rnta sẽ chứng minh rằng 2K sup (u ( x)  v( y )  | x  y | )  . (2.2)  Rn RnVì u và v b iến thiên hầu tuyến tính, nên tồn tại một hằng số L > 0 sao cho: trên R n  R n . u ( x)  v( y )  L(1 | x |  | y |) (2.3)Chọn một họ  r các hàm C 2 trên R n được tham số hóa bởi r  1 với các tính chất: (i)  r  0,  r ( x) ...