Báo cáo nghiên cứu khoa học: Nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phương.

Tuyển tập những báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh tác giả: 1. Nguyễn Thị Ngọc Diệp, Nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phương...Khoa học (trong tiếng Latin scientia, có nghĩa là "kiến thức" hoặc "hiểu biết") là các nỗ lực thực hiện phát minh, và tăng lượng tri thức hiểu biết của con người về cách thức hoạt động của thế giới vật chất xung quanh. Thông qua các phương pháp kiểm soát, nhà khoa học sử dụng cách quan sát các dấu hiệu biểu hiện mang tính vật chất và bất...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phương." §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007 Nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng nguyÔn thÞ ngäc diÖp (a) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i chøng minh r»ng tËp hîp c¸c phÇn tö compact trong nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng lËp thµnh mét −íc chuÈn; ®−a ra ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó mét nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng lµ nhãm t«p« luü linh ®Þa ph−¬ng, nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh; ®ång thêi nghiªn cøu tÝnh liªn hîp cña c¸c nhãm con xo¾n trõu t−îng cùc ®¹i cña nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng. Nhãm t«p« G ®−îc gäi lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng nÕu bao ®ãng cña nhãm con h÷u h¹n sinh cña G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh. Mçi nhãm t«p« luü linh ®Þa ph−¬ng, nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh lµ mét nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng. V× vËy líp nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng réng h¬n líp nhãm t«p« luü linh ®Þa ph−¬ng vµ líp nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh. Mét sè tÝnh chÊt cña nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®· ®−îc chóng t«i nghiªn cøu vµ tr×nh bµy trong [1]. Bµi b¸o nµy tiÕp tôc nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt cña nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng nh−: tËp hîp c¸c phÇn tö compact cña nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng, mét sè líp nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng ®Æc biÖt, nhãm con xo¾n trõu t−îng cùc ®¹i cña nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng. Nhãm t«p« G ®−îc nghiªn cøu ë ®©y lµ nhãm compact ®Þa ph−¬ng, ta dïng ký hiÖu G0 lµ thµnh phÇn liªn th«ng cña ®¬n vÞ e∈G. I. phÇn tö compact cña nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng Trong phÇn nµy ta nghiªn cøu tËp hîp c¸c phÇn tö compact cña nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng. §Þnh lý 1. Gi¶ sö G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng vµ B lµ tËp hîp c¸c phÇn tö compact cña G. Khi ®ã i) B lµ −íc chuÈn cña nhãm G; ii) Nhãm th−¬ng G B lµ nhãm phi xo¾n t«p«; iii) NÕu N=B.G0 th× G N lµ nhãm rêi r¹c, phi xo¾n trõu t−îng, ®ång thêi N lµ −íc chuÈn cùc tiÓu cã tÝnh chÊt ®ã. Chøng minh. i) Tr−íc hÕt ta chøng minh r»ng bao ®ãng cña nhãm con sinh bëi h÷u h¹n c¸c phÇn tö compact cña G lµ nhãm compact. ThËt vËy, gi¶ sö g1, g2,...,gk lµ c¸c phÇn tö compact cña nhãm G. §Æt H:= {g 1 , g 2 , ... , g k } . V× G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng nªn H= lim (Hβ,ϕβα,β >α) lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh, trong ®ã ←  . NhËn bµi ngµy 8/8/2007. Söa ch÷a xong 10/9/2007. 5 §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007 { } lµ nhãm luü linh, g β β β β Hβ= g1 , g 2 , ... , g k = ϕβ(gi) lµ phÇn tö compact (i = 1, k ) víi i ϕβ:H→Hβ lµ ®ång cÊu chÝnh t¾c cña nhãm H lªn Hβ. Theo bæ ®Ò 3.5 [2], Hβ lµ compact, suy ra H lµ nhãm compact. V× vËy tËp hîp B c¸c phÇn tö compact cña nhãm t«p« G luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng t¹o thµnh nhãm con cña nhãm trõu t−îng G. Ta ®· biÕt r»ng B lµ nhãm con xo¾n t«p« víi t«p« c¶m sinh. MÆt kh¸c theo ®Þnh lý Cartan- Maltsev- Iwasawa [3], ta cã B = C.H1 ... Hm, trong ®ã Hi lµ nhãm vect¬ mét chiÒu, C lµ nhãm compact cùc ®¹i. V× B lµ nhãm xo¾n t«p« nªn Hi=〈e〉. VËy B lµ nhãm compact bÊt biÕn cña G. ii) N=B.G0 lµ nhãm con më. Gi¶ sö g*=gB lµ phÇn tö compact cña G*= G B . Khi G0 G0 ®ã N*= N B lµ nhãm con bÊt biÕn më trong G*, ®ång thêi N*≅ B0 . V× G0 = G0 ∩ B lµ nhãm compact sinh ra nªn H*:={g*} lµ nhãm compact cña G*. Suy ra * * * H * .N * ≅H lµ nhãm compact rêi r¹c v× H*∩N*⊂H* lµ , do ®ã H .N N* * * * H ∩N N * * nhãm con më trong H*. Suy ra H .N lµ nhãm h÷u h¹n. V× vËy g* k ∈N* hay gk∈N N* G0 = N B = N* lµ nhãm Lie, phi xo¾n vµ hiÓn nhiªn g* k lµ phÇn tö compact. Khi ®ã B0 t«p«. V× B0 lµ nhãm compact nªn N* lµ giíi h¹n x¹ ¶nh cña c¸c nhãm Lie liªn th«ng. Suy ra g* k =e* tøc gk∈B. Do ®ã g lµ phÇn tö compact. §iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt g∉B. VËy G B lµ nhãm phi xo¾n t«p«. iii) Ta chøng minh G’= G lµ nhãm rêi r¹c, phi xo¾n trõu t−îng. Gi¶ sö h’=hN N lµ phÇn tö compact. V× N më nªn nhãm con {gN } lµ nhãm compact rêi r¹c. Suy ra m m {gN } lµ nhãm xyclic h÷u h¹n, do ®ã h’ =e’. V× vËy hm∈N. §Æt h* :=h.Bm, ta cã m G0 h* ∈N* víi N*= * * * B0 ≅ G0 tøc K :={h , N } lµ më réng bëi h÷u h¹n nhãm liªn th«ng. ...