Báo cáo nghiên cứu khoa học: PHƯƠNG PHÁP CHUẨN NĂNG LƯỢNG VỚI CHÍNH QUY HOÁ CỦA BIẾN PHÂN TOÀN PHẦN CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

Xét bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic−∆u ( x) + a( x).u ( x) = 0 với điều kiệnbiên thuần nhất. Trong bài báo này chúng ta sử dụng phương pháp chuẩn năng lượng để xác định hệ số phản ứng a = a ( x) từ những giá trị không chính xác của nghiệm u trên toàn miền. Hơn nữa, cho mục đích quan tâm đặc biệt đánh giá các hệ số không liên tục, chúng ta dùng phương pháp chỉnh với nửa chuẩn biến phân toàn phần......
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: " PHƯƠNG PHÁP CHUẨN NĂNG LƯỢNG VỚI CHÍNH QUY HOÁ CỦA BIẾN PHÂN TOÀN PHẦN CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC" TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 PHƯƠNG PHÁP CHUẨN NĂNG LƯỢNG VỚI CHÍNH QUY HOÁ CỦA BIẾN PHÂN TOÀN PHẦN CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC AN ENERGY NORM METHOD WITH THE TOTAL VARIATION REGULARIZATION FOR A COEFFICIENT IDENTIFICATION PROBLEM IN ELLIPTIC EQUATION. Trần Nhân Tâm Quyền Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT −∆u ( x) + a( x).u ( x) = 0 với điều kiện Xét bài toán Dirichlet cho phương trình ellipticbiên thuần nhất. Trong bài báo này chúng ta sử dụng phương pháp chuẩn năng lượng để xácđịnh hệ số phản ứng a = a ( x) từ những giá trị không chính xác của nghiệm u trên toànmiền. Hơn nữa, cho mục đích quan tâm đặc biệt đánh giá các hệ số không liên tục, chúng tadùng phương pháp chỉnh với nửa chuẩn biến phân toàn phần thay cho phương pháp chỉnhTikhonov truyền thống. Phương pháp chuẩn năng lượng đã được nghiên cứu gần đây chobài toán đánh giá hệ số khuếch tán trong các phương trình elliptic (xem, [3, 6]). Tuy nhiên,chúng ta không thấy bất kỳ công trình nào nghiên cứu về phương pháp này cho bài toánđánh giá hệ số phản ứng. ABSTRACT −∆u ( x) + a( x).u ( x) = 0 with Consider the Dirichlet problem for the elliptic equationthe homogeneous boundary condition. In this paper, we use the energy norm method to identifythe reaction coefficient a = a ( x) from imprecise values of a solution u in the whole domain.Furthermore, for the purpose of particular interest in estimating coefficients that arediscontinuous, we use the regularization method with the total variation semi-norm instead ofthe traditional Tikhonov regularization. The energy norm method has recently been studied forthe problem of estimating the diffusion coefficients in elliptic equations (see, [3,6]). However,there has been no investigation into this method for the problem of estimating reactioncoefficients.1. Đặt vấn đề Cho Ω là một miền bị chặn trong có biên ∂Ω liên tục Lipschitz, f ∈ L2 (Ω) nvà a ∈ L∞ (Ω) . Chúng ta xét bài toán xác định hệ số a = a( x) ∈ L∞ (Ω) trong bài toánDirichlet cho phương trình elipptic ⎧−∆u ( x) + a( x).u ( x) = 0, x ∈ Ω, (E) ⎨ u ( x) = 0, x ∈ ∂Ω, ⎩giả sử u đã được cho trên toàn miền Ω . Để phát biểu một cách chính xác bài toán, 141 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010chúng ta nhắc lại rằng một hàm u ∈ H 0 (Ω) được gọi là một nghiệm của hệ elliptic này 1nếu: ∫ ∇u∇v + ∫ auv = ∫ fv, ∀v ∈ H (Ω ) . 1 (1) 0 Ω Ω Ω { } Nếu hệ số a thuộc vào tập A = a ∈ L∞ (Ω) : 0 < a ≤ a( x) ≤ a, x ∈ Ω thì ( E ) códuy nhất nghiệm và thoả mãn bất đẳng thức 1 || u ||H 1 ( Ω ) ≤ || f ||L2 ( Ω ) , (2) αở đây hằng số α > 0 phụ thuộc vào cận dưới a của tập A và hằng số được xuất hiệntrong bất đẳng thức Poincaré – Friedrichs (xem, [7]). Do đó, chúng ta xác định đượctoán tử phi tuyến từ hệ số đến nghiệm U : A ⊂ L∞ (Ω) → H 0 (Ω) mà ánh xạ mỗi 1a ∈ A ⊂ L∞ (Ω) tới một nghiệm U (a) ∈ H 0 (Ω) của ( E ) . Bài toán ngược khi đó được 1phát biểu như sau: Cho u = U (a ) ∈ H 0 (Ω) , tìm a ∈ A . 1 Chúng ta sẽ ký hiệu gradient của U (a ) tương ứng với biến x bởi ∇U (a) và đạohàm Fréchet của U (a ) tương ứng với a bởi U (a ) .Như chúng ta đã biết rằng (xem, [4, 8]) ánh xạ U ...