Báo cáo nghiên cứu khoa học: TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ COMPACT CỦA ĐƠN HÌNH CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN

Tuyển tập báo cáo nghiên cứu khoa học của trường đại học Đà Nẵng đề tài: TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ COMPACT CỦA ĐƠN HÌNH CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ COMPACT CỦA ĐƠN HÌNH CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN" TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ COMPACT CỦA ĐƠN HÌNH CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN l p (0 ε0 >0 : d(x, f(x)) ε0 ; x X (*).Giả sử ngược lại ε 0, x X : d(x,f (x)) ε; 1 1 , chọn ε x n X : d(x n , f (x n )) ;n . Do {f(xn)} K , do K compact nên n n ntồn tại dãy con f (x m n ) của dãy f (x n ) và tồn tại y0 K : lim d(f (x mn ), y 0 ) 0 (1) n 1Do d(f (x n ), x n ) ;n n 1 1 d(f (x mn ), x mn ) ;n mn n lim d(f (x mn ), x mn ) 0 (2) n vô lí. Từ (1), (2) lim d(x mn , y 0 ) 0 lim d(f (x mn ), f (y 0 )) 0 y0 f (y 0 ) n nĐịnh nghĩa. Cho A là một tập lồi trong một không gian metric tuyến tính (X,d), A được gọi là cótính chấp nhận được nếu ε 0 , với mỗi tập compact K A thì tồn tại hàm A liên tục mà d(h(x), x) ε; x K và h(K) nằm trong một không gian tuyến tính con h:Khữu hạn chiều của X.Ta có Bổ đề 2. Cho A là một tập lồi trong một không gian metric tuyến tính (X,d). Nếu A có tính chấpnhận được thì A có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ compact.Chứng minh. Giả sử ngược lại f : A A là ánh xạ compact mà không có điểm bấtđộng ε0 0 : d(f (x), x) ε0 ; x A .Gọi K là tập compact trong A mà f (A) K . ε0Do A có tính chấp nhận được nên g : K A liên tục mà d(g(x), x) ; x K và 4g (K) nằm trong 1 không gian tuyến tính con hữu hạn chiều L của X g(K) L A L A là tập lồi trong không gian metric tuyến tính hữu hạn chiều LXét g  f |A L:A L A L Ta biết rằng mỗi không gian metric tuyến tính hữu hạn chiều là một không gian metrictuyến tính lồi địa phương L A là một AR L A có tính chất điểm bất động đối với cácánh xạ compact mà g  f |A L (A L) g(K), mà g(K) là tập compact ε0 ε0 x0 A L : g  f (x 0 ) x 0 d(g(f (x 0 )), f (x 0 )) d(x 0 , f (x 0 )) 4 4 vô lí. mà d(x0 ,f (x0 )) ε0 Trong l p (0e1 (1, 0, 0,..., 0,...)e2 (0,1, 0,..., 0,...)e3 (0, 0,1,..., 0,...)...en (0, 0,...,1, 0,...) Đặt A conv e1, e 2 , e3 ,..., e n ,... , A là đơn hình chuẩn trong l p (0 pTa thấy x (q) x n x (q) x n 0(khi q ) n n n1 n1 p  x (q) x (q) ) x (q) x n x (q) x nmà q ; xn (x n n n n n n1 n1 n1 n1 n1 p p x (q) x (q) x n x (q) x (q) x n xn n n n n n1 n1 n1 n1 n1 p p x (q) x n x (q) x n 1 xn 1 n n n1 n1 n1Qua giới hạn khi q 1 xn 1 xn 1 n1 n1 ...