Báo cáo nghiên cứu khoa học: Vành cấu xạ và QF – vành.

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2008 tác giả: 1. Lê Văn An, Nguyễn Thị Hải Anh, Vành cấu xạ và QF – vành. Trong bài báo cáo này chúng tôi đưa ra một số kết quả về vành cấu xạ và vành tựa cấu xạ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Vành cấu xạ và QF – vành."Báo cáo nghiêncứu khoa học: Vành cấu xạvà QF – vành. Vµnh cÊu x¹ vµ QF - vµnh (a) (b) Lª V¨n An , NguyÔn ThÞ H¶i Anh Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i ®a ra mét sè kÕt qu¶ vÒ vµnh cÊu x¹ vµ vµnh tùa cÊu x¹. Tõ ®ã ®a ra mét sè ®Æc trng cña QF - vµnh bëi c¸c líp vµnh cÊu x¹ vµ vµnh tùa cÊu x¹. C¸c kÕt qu¶ nµy lµ sù tiÕp tôc nh÷ng nghiªn cøu cña V. Camillo, W. K. Nicholson vµ mét sè t¸c gi¶ kh¸c (xem [1], [8] ...).I. Më ®Çu Trong bµi b¸o nµy c¸c vµnh ®Òu lµ vµnh kÕt hîp cã ®¬n vÞ vµ tÊt c¶ c¸c m«®un lµ R nµo ®ã (nÕu kh«ng nãi g× thªm). Cho R−m«®un ph¶im«®un ph¶i unita trªn vµnh A ⊆ M , A ⊆e M , A ⊆⊕ M ®Ó chØ A lµ m«®un con cñaM. Chóng ta dïng ký hiÖum«®un M , A lµ m«®un con cèt yÕu cña m«®un M , A lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña m«®unM. Cho R−m«®un ph¶i M , ta xÐt c¸c ®iÒu kiÖn sau: (C1 ) Mäi m«®un con cña M lµ cèt yÕu trong mét h¹ng tö trùc tiÕp cña M , hay nãic¸ch kh¸c mäi m«®un con ®ãng trong M lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M . (C2 ) NÕu A vµ B lµ c¸c m«®un con cña M ®¼ng cÊu víi nhau vµ A lµ h¹ng tö trùctiÕp cña M th× B còng lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M . (C3 ) NÕu A vµ B lµ c¸c h¹ng tö trùc tiÕp cña M vµ A ∩ B = 0 th× A ⊕ B còng lµh¹ng tö trùc tiÕp cña M . (1 − C1 ) Mäi m«®un con ®Òu (uniform) cña M lµ cèt yÕu trong mét h¹ng tö trùc tiÕpcña M . M«®un M ®îc gäi lµ CS −m«®un (t¬ng øng m«®un (1 − C1 ), m«®un liªn tôc, tùaliªn tôc), nÕu M tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (C1 ) (t¬ng øng (1 − C1 ), (C1 ) vµ (C2 ); (C1 ) vµ(C3 )). Theo [6] ta cã (C2 ) =⇒ (C3 ) vµ s¬ ®å kÐo theo sau lµ ®óng: ⇒ Tùa néi x¹ =⇒ Liªn tôc =⇒ Tùa liªn tôc =⇒ CS =⇒ (1 − C1 ). Néi x¹ = M«®un M ®îc gäi lµ (®Õm ®îc) Σ−néi x¹ (t¬ng øng (®Õm ®îc) Σ−tùa néi x¹, (I ) (N )(®Õm ®îc) Σ − (1 − C1 )) nÕu m«®un M (t¬ng øng M ) lµ néi x¹ (t¬ng øng tùanéi x¹, (1 − C1 )) víi tËp chØ sè I bÊt kú (trong ®ã N lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn). Vµnh R ®îc gäi lµ QF - vµnh nÕu R lµ vµnh Artin ph¶i vµ tr¸i, tùa néi x¹ ph¶ivµ tr¸i. Vµnh R ®îc gäi lµ QF - 2 ph¶i (tr¸i) nÕu RR (t¬ng øng R R) ®îc ph©n tÝchthµnh tæng trùc tiÕp c¸c i®ªan ph¶i (tr¸i) ®Òu. a cña vµnh R ®îc gäi lµ phÇn tö chÝnh quy (regular) (chÝnh quy kh¶ Mét phÇn tö b cña R sao cho a = aba.nghÞch (unit regular)) nÕu tån t¹i phÇn tö (phÇn tö kh¶ nghÞch) R ®îc gäi lµ vµnh chÝnh quy (chÝnh quy kh¶ nghÞch) nÕu mäi phÇn tö cña nã lµVµnh e cña vµnh R ®îc gäi lµ phÇnchÝnh quy (t¬ng øng chÝnh quy kh¶ nghÞch). PhÇn tö 2tö luü ®¼ng nÕu e = e. Vµnh R ®îc gäi lµ vµnh Bun nÕu mäi phÇn tö cña nã lµ luü®¼ng. l(A) = {b ∈ R | ba = R A lµ mét tËp con kh¸c rçng cña R. Cho mét vµnh vµ §Æt 1 NhËn bµi ngµy 29/2/2008. Söa ch÷a xong 24/11/2008.0, ∀a ∈ A} vµ gäi lµ linh ho¸ tö tr¸i cña tËp A. T¬ng tù ®Æt r(A) = {b ∈ R | ab =0, ∀a ∈ A} vµ gäi lµ linh ho¸ tö ph¶i cña tËp A. NÕu A = {a} th× l(a), r(a) lÇn lîtgäi lµ linh ho¸ tö tr¸i (ph¶i) cña phÇn tö a. Theo [10, page 8], l (A) (t¬ng øng r (A))lµ i®ªan tr¸i (t¬ng øng ph¶i) cña vµnh R. Ta nãi vµnh R tho¶ m·n ACC trªn tËp c¸clinh ho¸ tö ph¶i (hoÆc tr¸i) nÕu mäi chuçi t¨ng c¸c linh ho¸ tö ph¶i (t¬ng øng tr¸i)®Òu dõng. Vµnh R gäi lµ P −néi x¹ ph¶i (right principally injective) nÕu víi mäi a ∈ R th×lr(a) = Ra. Theo [7, Proposition 5.10], nÕu R lµ P −néi x¹ ph¶i th× RR tho¶ m·n ®iÒukiÖn (C2 ). Theo [7, Example 5.3], R ⊕ R lµ P −néi x¹ ph¶i khi vµ chØ khi R lµ P −néix¹ ph¶i. a cña vµnh R ®îc gäi lµ cÊu x¹ ph¶i (tr¸i) (right (left) morphic) nÕu Mét phÇn tö b cña R sao cho aR = r(b) vµ bR = r(a) (t¬ng øng Ra = l(b) vµtån t¹i phÇn töRb = l(a)). Vµnh R ®îc gäi lµ cÊu x¹ ph¶i (tr¸i) (right (left) morphic ring) nÕu mäiphÇn tö cña nã lµ cÊu x¹ ph¶i (tr¸i). Vµnh R ®îc gäi lµ cÊu x¹ (morphic ring) nÕu nãlµ vµnh cÊu x¹ ph¶i vµ tr¸i. a R Mét phÇn tö cña vµnh ®îc gäi lµ tùa cÊu x¹ ph¶i (tr¸i) (right (left) quasi - b vµ c cña R sao cho aR = r(b) vµ r(a) = cR (t¬ngmorphic) nÕu tån t¹i c¸c phÇn tö Ra = l(b) l(a) = cR). R ®îc gäi lµ tùa cÊu x¹ ph¶i (tr¸i) (right (left)øng vµ Vµnhquasi - morphic ring) nÕu mäi phÇn tö cña nã lµ tùa cÊu x¹ ph¶i (tr¸i). Vµnh R ®îcgäi lµ tùa cÊu x¹ (quasi - morphic ring) nÕu nã lµ vµnh tùa cÊu ...