Báo cáo nghiên cứu khoa học: Về đối khối lượng của tích các dạng phức.

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh tác giả. 1. Nguyễn Duy Bình, Thái Thị Bích Hường, Về đối khối lượng của tích các dạng phức...Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số." Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý học...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về đối khối lượng của tích các dạng phức." T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 4A-2007 §¹i häc Vinh VÒ ®èi khèi l−îng cña tÝch c¸c d¹ng phøc NguyÔn Duy B×nh (a), (b) Th¸i ThÞ BÝch H−êng Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i chøng minh r»ng ®¼ng thøc vÒ ®èi khèi l−îng cña tÝch hai d¹ng phøc lµ ®óng trong tr−êng hîp khi mét trong c¸c nh©n tö lµ phøc hãa cña mét d¹ng t¸ch ®−îc hoÆc hai nh©n tö lµ c¸c 3-d¹ng phøc. Mét øng dông cña ®¼ng thøc trªn ®· ®−îc chØ ra. 1. Lêi giíi thiÖu Bµi to¸n x¸c ®Þnh h−íng cùc ®¹i cña mét d¹ng vi ph©n vµ ®ång thêi víi nã lµ bµi to¸n tÝnh ®èi khèi l−îng cña mét d¹ng vi ph©n cã vai trß quan träng trong viÖc t×m ®a t¹p con cùc tiÓu trong líp c¸c ®a t¹p cïng biªn hoÆc cïng líp ®ång ®iÒu trong mét ®a t¹p Riemann theo nguyªn lý d¹ng cì (xem [1]). Víi viÖc phøc hãa mét d¹ng thùc chóng ta nhËn ®−îc d¹ng trªn kh«ng gian cã sè chiÒu gÊp ®«i. C©u hái vÒ ®èi khèi l−îng cña d¹ng phøc hãa cã b»ng ®èi khèi l−îng cña d¹ng thùc ban ®Çu hay kh«ng, tËp c¸c h−íng cùc ®¹i cña phÇn thùc d¹ng phøc hãa quan hÖ víi tËp c¸c h−íng cùc ®¹i cña d¹ng thùc ban ®Çu nh− thÕ nµo vÉn cßn lµ mét bµi to¸n më. Trong [4] ®· cho mét sè kÕt qu¶ vÒ vÊn ®Ò trªn trong tr−êng hîp phøc hãa cña c¸c d¹ng t¸ch ®−îc. Trong viÖc kh¶o s¸t ®èi khèi l−îng cña c¸c d¹ng phøc hãa, tæng qu¸t h¬n lµ cña c¸c d¹ng phøc, bµi to¸n vÒ ®èi khèi l−îng cña tÝch c¸c d¹ng ®−îc ®Æt ra: liÖu ®èi khèi l−îng cña tÝch cã thÓ tÝnh qua ®èi khèi l−îng cña c¸c nh©n tö hay kh«ng? Trªn c¸c d¹ng thùc, ®¼ng thøc vÒ ®èi khèi l−îng cña tÝch c¸c d¹ng cã ý nghÜa quan träng trong viÖc chøng tá tÝch §Ò C¸c cña hai ®a t¹p con cùc tiÓu lµ cùc tiÓu trong ®a t¹p tÝch vµ ®· ®−îc chøng minh trong mét sè tr−êng hîp. §èi khèi l−îng cña tÝch hai d¹ng b»ng tÝch c¸c ®èi khèi l−îng cña c¸c nh©n tö trong c¸c tr−êng hîp sau: mét trong hai nh©n tö cã bËc 2 hoÆc ®èi bËc 2; c¶ hai nh©n tö ®Òu cã bËc lµ 3; mét trong hai nh©n tö lµ d¹ng xuyÕn; mét trong hai nh©n tö lµ d¹ng E-t¸ch ®−îc; c¶ hai nh©n tö ®Òu cã bËc lµ 3; mét nh©n tö lµ d¹ng bËc 3 trªn kh«ng gian 6 chiÒu (xem [5]). Môc ®Ých cña bµi b¸o nµy lµ kh¶o s¸t ®èi khèi l−îng cña mét sè tÝch hai d¹ng phøc, ®Æc biÖt khi chóng lµ c¸c d¹ng phøc hãa. KÕt qu¶ chÝnh thu ®−îc ë ®©y lµ ®èi khèi l−îng tÝch c¸c d¹ng phøc hãa b»ng tÝch c¸c ®èi khèi l−îng cña c¸c nh©n tö khi mét trong hai d¹ng lµ phøc hãa cña mét d¹ng E- t¸ch ®−îc (§Þnh lý 3.1, §Þnh lý 3.2) hoÆc hai nh©n tö lµ c¸c 3-d¹ng phøc trªn c¸c kh«ng gian phøc trùc giao (§Þnh lý 4.2) vµ ¸p dông c¸c ®¼ng thøc tÝch nµy chóng ta nhËn ®−îc tÝnh chÊt cña ®èi khèi l−îng vµ tËp c¸c h−íng cùc ®¹i cña mét líp c¸c 6-d¹ng thùc (HÖ qu¶ 4.3). NhËn bµi ngµy 18/9/2007. Söa ch÷a xong 07/12/2007. 5 ... cña tÝch c¸c d¹ng phøc, tr. 5-14 NguyÔn D. B×nh, Th¸i T. B. H−êng 2. D¹ng thùc t¸ch ®−îc v phøc hãa mét d¹ng thùc Trong môc nµy chóng ta nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ cÇn thiÕt cho c¸c phÇn sau. Cho ω lµ mét k-d¹ng (k-c«vect¬) trªn kh«ng gian vect¬ ¥clit »n víi tÝch v« ∑a b h−íng tiªu chuÈn = , ë ®©y a = (ai), b = (bi). ChuÈn ®èi khèi l−îng cña ii * ω , ký hiÖu ω , x¸c ®Þnh bëi * ω =max{ ω ( ξ ), ξ ∈ G(k, »n)}, ë ®©y G(k, »n) lµ tËp tÊt c¶ c¸c kh«ng gian con ®Þnh h−íng k chiÒu trong »n vµ cã thÓ ®ång nhÊt víi tËp tÊt c¶ c¸c k-vect¬ ®¬n, ®¬n vÞ trong »n. TËp G( ω ) c¸c h−íng cùc ®¹i cña ω ®−îc cho bëi * G( ω )= { ξ ∈ G(k, »n ), ω ( ξ )= ω }. Trªn kh«ng gian »n xÐt tÝch v« h−íng Hecmit = ∑z w , ë ®©y z=(zi), i i w=(wi). Khi ®ã »n lµ kh«ng gian ¥clit 2n chiÒu víi tÝch v« h−íng thùc R = vµ kh«ng gian »n ={(wi) ∈Cn, wi ∈»} víi tÝch v« h−íng tiªu ∑z w Re=Re i i chuÈn lµ kh«ng gian con cña kh«ng gian ¥clit »n. HÖ vect¬ trùc chuÈn ®èi víi tÝch v« h−íng thùc vµ ®èi víi tÝch v« h−íng Hecmit trªn »n ®−îc gäi gän lµ trùc chuÈn thùc vµ trùc chuÈn phøc t−¬ng øng. Trªn kh«ng gian vect¬ ¥clit »n, kh«ng gian con thùc V ⊂ »n ®−îc gäi lµ kh«ng gian con ®¼ng h−íng nÕu iu ⊥ V víi mäi u ∈V. Mét k- vect¬ ®¬n, ®¬n vÞ ξ trªn kh«ng gian vect¬ thùc »n ®−îc gäi lµ k-vect¬ ®¼ng h−íng nÕu kh«ng gian con liªn kÕt víi nã, spanR ξ , lµ kh«ng gian con ®¼ng h−íng. §Ó ý r»ng mét hÖ vect¬ u1, u2,...,uk ∈»n lµ trùc chuÈn phøc nÕu vµ chØ nÕu hÖ u1, u2,...,uk lµ trùc chuÈn thùc vµ spanR{ u1, u2,...,uk} lµ kh«ng gian con ®¼ng h−íng cña »n. Víi mét k-d¹ng trªn »n, d¹ng phøc hãa cña nã trªn »n (xem [4]) ®−îc x©y dùng nh− sau: Gi¶ sö e1, e2,...en lµ mét c¬ së trùc chuÈn cña »n. Khi ®ã e1, e2,...en, ie1, ie2,..., ien lµ c¬ së trùc chuÈn thùc cña »n = »n + i»n . Ký hiÖu dx1, dx2,..., dxn, dy1, dy2,...,dyn lµ c¬ së ®èi ngÉu cña c¬ së e1, e2,...en, ie1, ie2,..., ien. Cho ω lµ mét k-d¹ng trªn »n, khi ®ã ω = ∑ a J dx J , J = (i1, i2,...,ik), 1 ≤ i1< i2 T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 4A-2007 §¹i häc Vinh XÐt k-d¹ng phøc ω c = ∑ a J dz J , ë ®©y dz α = dx α +idy α v dz J = dz i1 Λ dz i2 Λ...Λ dz ik . ω c ®−îc gäi lµ phøc hãa cña d¹ng ω . §èi víi mét k-d¹ng phøc ϕ bÊt kú trªn kh«ng gian »n, ®èi khèi l−îng vµ tËp ...